求由直線x=1,x=2和y=0及曲線y=x3圍成的圖形的面積.

解：(1)分割

如圖，把曲邊梯形ABCD分割成n個小曲邊梯形,用分點把區(qū)間［1,2］等分成n個小區(qū)間：［1,］,［］,…,［］,…,［］,每個小區(qū)間的長度為Δx=,過各分點作x軸的垂線，把曲邊梯形ABCD分割成n個小曲邊梯形,它們的面積分別記作ΔS1,ΔS2,…,ΔSn.

(2)近似代替取各小區(qū)間的左端點ξi,用以點ξi的縱坐標ξi3為一邊,以小區(qū)間長Δx=為其鄰邊的小矩形面積近似代替第i個小曲邊梯形面積,可以近似地表示為

ΔSi≈ξi3·Δx=(i=1,2,3,…,n).

(3)求和

因為每一個小矩形的面積都可以作為相應(yīng)的小曲邊梯形面積的近似值,所以n個小矩形面積的和就是曲邊梯形ABCD面積S的近似值,即

                                 ①

(4)求極限

當分點數(shù)目愈多,即Δx愈小時,和式①的值就愈接近曲邊梯形ABCD的面積S.因此,n→∞即Δx→0時,和式①的極限就是所求的曲邊梯形ABCD的面積.

∵

∴

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