精英家教網(wǎng) > 高中數(shù)學 > 題目詳情

過雙曲線的一個焦點F₂作垂直于實軸的弦PQ，F(xiàn)₁是另一焦點，若∠ $數(shù)學公式$ ，則雙曲線的離心率e等于________．

$\text{[math]}$
分析：根據(jù)題意，△PQF₁是等腰直角三角形，且被F₁F₂分成兩個全等的等腰直角三角形．由此結(jié)合雙曲線的定義，可解出a=（ $\text{[math]}$ -1）c，即可得到該雙曲線的離心率．
解答：根據(jù)雙曲線的對稱性得|PF₁|=|QF₁|，

∵△PQF₁中，∠ $\text{[math]}$ ，
∴△PQF₁是等腰直角三角形，且被F₁F₂分成兩個全等的等腰直角三角形
因此，Rt△PF₁F₂中，|F₁F₂|=|PF₂|=2c，|PF₁|= $\text{[math]}$ |F₁F₂|=2 $\text{[math]}$ c
∵|PF₁|-|PF₂|=2a，
∴2 $\text{[math]}$ c-2c=2a，可得a=（ $\text{[math]}$ -1）c
由此可得，雙曲線的離心率e= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
故答案為： $\text{[math]}$
點評：本題給出雙曲線方程，在已知過右焦點的通徑和左焦點構(gòu)成直角三角形的情況下求雙曲線的離心率，著重考查了雙曲線的標準方程和簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于基礎(chǔ)題．

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