Question

如圖，O，P分別是正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁底面的中心，連接PB，PC，OB，OC和OP．
（1）求證：平面PBO⊥平面PCO
（2）求直線B₁C₁與平面POB所成的角．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知中ABCD是正方形，O，P分別是正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁底面的中心，則BO⊥OC，PO⊥OB，則由線面垂直的判定定理可得OB⊥平面PCO，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面PBO⊥平面PCO
（2）由正方體的幾何特征得B₁C₁∥BC，直線B₁C₁與平面POB所成的角等于直線BC與平面POB所成的角，即∠CBO就是B₁C₁與平面POB所成的角，解三角形CBO即可得到答案．

解答：解：（1）證明：∵ABCD是正方形，O為中心，∴BO⊥OC，
∵O，P分別是正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁底面的中心，
∴PO⊥平面ABCD，∴PO⊥OB，
∴OB⊥平面PCO，（3分）
又∵OB?平面PBO，∴平面PBO⊥平面PCO；           （2分）
（2）∵B₁C₁∥BC，
∴直線B₁C₁與平面POB所成的角等于直線BC與平面POB所成的角
∵平面PBO⊥平面PCO，OC⊥OB，∴OC⊥平面POB，
∠CBO就是B₁C₁與平面POB所成的角．（3分）
在△CBO中，∠CBO=

π

4

．所以直線B₁C₁與平面POB所成的角為

π

4

．（2分）

點評：本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定，直線與平面所成的角，其中（1）的關鍵是要判斷出OB⊥平面PCO，（2）的關鍵是找出∠CBO就是B₁C₁與平面POB所成的角．