Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-ax，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，a為常數(shù)．
（1）若對(duì)函數(shù)f（x）存在極小值，且極小值為0，求a的值；
（2）若對(duì)任意x∈[0，

π

2

]，不等式f（x）≥e^x（1-sinx）恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，對(duì)a討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)f（x）存在極小值，且極小值為0，可求a的值；
（2）對(duì)任意x∈[0，

π

2

]，不等式f（x）≥e^x（1-sinx）恒成立，等價(jià)于對(duì)任意x∈[0，

π

2

]，不等式e^xsinx-ax≥0恒成立，構(gòu)造新函數(shù)，分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求a的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）=e^x-ax，∴f′（x）=e^x-a，
當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)在R上是增函數(shù)，從而函數(shù)不存在極值，不合題意；
當(dāng)a＞0時(shí)，由f′（x）＞0，可得x＞lna，由f′（x）＜0，可得x＜lna，∴x=lna為函數(shù)的極小值點(diǎn)，
由已知，f（lna）=0，即lna=1，∴a=e；
（2）不等式f（x）≥e^x（1-sinx），即e^xsinx-ax≥0，
設(shè)g（x）=e^xsinx-ax，則g′（x）=e^x（sinx+cosx）-a，g″（x）=2e^xcosx，
x∈[0，

π

2

]時(shí)，g″（x）≥0，則g′（x）在x∈[0，

π

2

]時(shí)為增函數(shù)，∴g′（x）=g′（0）=1-a．
①1-a≥0，即a≤1時(shí)，g′（x）＞0，g（x）在x∈[0，

π

2

]時(shí)為增函數(shù)，∴g（x）_min=g（0）=0，此時(shí)g（x）≥0恒成立；
②1-a＜0，即a＞1時(shí)，存在x₀∈（0，

π

2

），使得g′（x₀）＜0，從而x∈（0，x₀）時(shí)，g′（x）＜0，∴g（x）在[0，x₀]上是減函數(shù)，
∴x∈（0，x₀）時(shí)，g（x）＜g（0）=0，不符合題意．
綜上，a的取值范圍是（-∞，1]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．