Question

我們知道對數(shù)函數(shù)f（x）=log_ax，對任意x，y＞0，都有f﹙xy﹚=f﹙x﹚+f﹙y﹚成立，若a＞1，則當(dāng)x＞1時，f﹙x﹚＞0，參照對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，研究下題；定義在﹙0，+∞﹚上的函數(shù)f﹙x﹚對任意x，y∈﹙0，+∞﹚都有f﹙xy﹚=f﹙x﹚+f﹙y﹚，并且當(dāng)且僅當(dāng)x＞1時，f﹙x﹚＞0成立，
（1）設(shè)x，y∈﹙0，+∞﹚，求證：f﹙

y

x

﹚=f﹙y﹚-f﹙x﹚；
（2）設(shè)x₁，x₂∈﹙0，+∞﹚，若f﹙x₁﹚＞f﹙x₂﹚，比較x₁與x₂的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專題：計算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）令x=y=1推導(dǎo)出f（1）=0，再令y=

1

x

，從而得到f（

1

x

）=-f（x），從而證明f﹙

y

x

﹚=f（y）+f（

1

x

）=f﹙y﹚-f﹙x﹚．
（2）先證明函數(shù)f（x）在﹙0，+∞﹚上是增函數(shù)，從而判斷二者的大小關(guān)系．

解答： 解：（1）證明：令x=y=1，則由f﹙xy﹚=f﹙x﹚+f﹙y﹚知，
f﹙1﹚=f﹙1﹚+f﹙1﹚，
解得，f（1）=0，
令y=

1

x

，則f（x•

1

x

）=f（x）+f（

1

x

）=0，
即f（

1

x

）=-f（x），
故f﹙

y

x

﹚=f（y）+f（

1

x

）=f﹙y﹚-f﹙x﹚．
（2）設(shè)x₁，x₂∈﹙0，+∞﹚，且x₁＜x₂，則
f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）-f（x₁•

x2

x1

）
=f（x₁）-[f（x₁）+f（

x2

x1

）]
=-f（

x2

x1

），
∵0＜x₁＜x₂，
∴

x2

x1

＞1，
∴-f（

x2

x1

）＜0，
即f（x）在﹙0，+∞﹚上是增函數(shù)，
又∵f﹙x₁﹚＞f﹙x₂﹚，
∴x₁＞x₂．

點(diǎn)評：本題考查了對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，同時考查了函數(shù)的單調(diào)性的證明與應(yīng)用，屬于中檔題．