附加題:如圖,過(guò)橢圓C:數(shù)學(xué)公式(a>b>0)上一動(dòng)點(diǎn)P引圓x2+y2=b2的兩條切線(xiàn)PA,PB(A,B為切點(diǎn)).直線(xiàn)AB與x軸、y軸分別交于M、N兩點(diǎn).
①已知P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x0,y0),并且x0•y0≠0,試求直線(xiàn)AB的方程;  
②若橢圓的短軸長(zhǎng)為8,并且數(shù)學(xué)公式,求橢圓C的方程;
③橢圓C上是否存在P,由P向圓O所引兩條切線(xiàn)互相垂直?若存在,求出存在的條件;若不存在,說(shuō)明理由.

解:(1)設(shè)A (x1,y1),B (x2,y2)切線(xiàn)PA:x1x+y1y=b2,PB:x2x+y2y=b2,
∵P點(diǎn)在切線(xiàn)PA、PB上,∴x1x0+y1y0=b2,x2x0+y2y0=b2
∴直線(xiàn)AB的方程為x0x+y0y=b2
(2)在x0x+y0y=b2中,2b=8?b=4,b2=16,
分別令y=0,得,x=0 得
代入,得:
又P(x0,y0)在橢圓上:代入①?a2=25∴所求橢圓為:(xy≠0)
(3)假設(shè)存在點(diǎn)P(x0,y0)滿(mǎn)足PA⊥PB,連OA、OB,
由|PA|=|PB|,知四邊形PAOB為正方形,|OP|=|OA|∴x02+y02=2b2①又P在橢圓上∴a2x02+b2y02=a2b2
由①、②知:∵a>b>0∴a2>b2,
所以 當(dāng)a2≥2b2>0,即時(shí),橢圓C上存在點(diǎn)P1滿(mǎn)足條件,
當(dāng)a2<2b2,即時(shí),橢圓C上不存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P.
分析:(1)設(shè)A (x1,y1),B (x2,y2),切線(xiàn)PA:x1x+y1y=b2,PB:x2x+y2y=b2,由P點(diǎn)在切線(xiàn)PA、PB上,能求出直線(xiàn)AB的方程.
(2)在x0x+y0y=b2中,2b=8?b=4,b2=16,分別令y=0,得,x=0 得.代入,得:.由此能求出橢圓C的方程.
(3)假設(shè)存在點(diǎn)P(x0,y0)滿(mǎn)足PA⊥PB,連OA、OB,由|PA|=|PB|,知四邊形PAOB為正方形,|OP|=|OA|.所以x02+y02=2b2,又P在橢圓上,所以a2x02+b2y02=a2b2,所以.由此知當(dāng)a2≥2b2>0時(shí),橢圓C上存在點(diǎn)P1滿(mǎn)足條件,當(dāng)a2<2b2時(shí),橢圓C上不存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合應(yīng)用能力,具體涉及到軌跡方程的求法及直線(xiàn)與橢圓的相關(guān)知識(shí),解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)附加題:
A.如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于圓O,弧AB=弧AD,過(guò)A點(diǎn)的切線(xiàn)交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于E點(diǎn).
求證:AB2=BE•CD.
B.設(shè)數(shù)列{an},{bn}滿(mǎn)足an+1=3an+2bn,bn+1=2bn,且滿(mǎn)足
an+4
bn+4
=M
an
bn
,試求二階矩陣M.
C.已知橢圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2=
12
3cos2θ+4sin2θ
,點(diǎn)F1,F(xiàn)2為其左、右焦點(diǎn),直線(xiàn)l的參數(shù)方程為
x=2+
2
2
t
y=
2
2
t
(t為參數(shù),t∈R).求點(diǎn)F1,F(xiàn)2到直線(xiàn)l的距離之和.
D.已知x,y,z均為正數(shù).求證:
x
yz
+
y
zx
+
z
xy
1
x
+
1
y
+
1
z

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

附加題:如圖,過(guò)橢圓C:
y2
a2
+
x2
b2
=1
(a>b>0)上一動(dòng)點(diǎn)P引圓x2+y2=b2的兩條切線(xiàn)PA,PB(A,B為切點(diǎn)).直線(xiàn)AB與x軸、y軸分別交于M、N兩點(diǎn).
①已知P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x0,y0),并且x0•y0≠0,試求直線(xiàn)AB的方程;    
②若橢圓的短軸長(zhǎng)為8,并且
a2
|OM|2
+
b2
|ON|2
=
25
16
,求橢圓C的方程;
③橢圓C上是否存在P,由P向圓O所引兩條切線(xiàn)互相垂直?若存在,求出存在的條件;若不存在,說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2010年江蘇省泰州高級(jí)中學(xué)高考數(shù)學(xué)模擬試卷(解析版) 題型:解答題

附加題:
A.如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于圓O,弧AB=弧AD,過(guò)A點(diǎn)的切線(xiàn)交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于E點(diǎn).
求證:AB2=BE•CD.
B.設(shè)數(shù)列{an},{bn}滿(mǎn)足an+1=3an+2bn,bn+1=2bn,且滿(mǎn)足=M,試求二階矩陣M.
C.已知橢圓C的極坐標(biāo)方程為,點(diǎn)F1,F(xiàn)2為其左、右焦點(diǎn),直線(xiàn)l的參數(shù)方程為(t為參數(shù),t∈R).求點(diǎn)F1,F(xiàn)2到直線(xiàn)l的距離之和.
D.已知x,y,z均為正數(shù).求證:

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