Question

已知，有窮數(shù)列{a_n}共有2k項(xiàng)（整數(shù)k≥2），a₁=2，設(shè)該數(shù)列的前_n項(xiàng)和為S_n且滿足S_n+1=aS_n+2（n=1，2，…，2k-1），a>1。
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n= log₂a_n，求{b_n}的前n項(xiàng)和T_n；
（3）設(shè)，若，求滿足不等式時(shí)k的最小值。

Answer 1

解：（1）由， ①
（n=2，3，…，k）②
①-②得a_n+1=a·a_n（n=2，3，…，2k-1）
由①式得S₂=aS₁+2，a₁+a₂=aS₁+2，
解得a₂=2a，
因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20111119/20111119100557921954.gif">
所以{a_n}是以2為首項(xiàng)，a為公比的等比數(shù)列
（n=1，2，…，2k）。
（2）∵
=log₂a（n=2，3，…，2k），
∴{b_n}是以b₁=1為首項(xiàng)，以log₂a（a>1）為公差的等差數(shù)列
∴
（a>1，n=1，2，…，2k）。
（3）（n=1，2，…，2k）
當(dāng)時(shí)，，n為正整數(shù)，知n≤k時(shí)，
當(dāng)n≥k+1時(shí)，






即11k²-72k+36≥0，（11k-6）（k-6）≥0
解得k≥6或
所以滿足條件的k的最小值為6。