Question

19．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，PD=AB=2，E為PC中點．求二面角E-BD-P的余弦值．

Answer 1

分析 以點D為坐標原點，分別以直線DA，DC，DP為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，由此能求出二面角E-BD-P的余弦值．

解答 解：以點D為坐標原點，分別以直線DA，DC，DP為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
則D（0，0，0），P（0，0，2），B（2，2，0），E（0，1，1），
$\overrightarrow{DB}$=（2，2，0），$\overrightarrow{DE}$=（0，1，1）．
設(shè)平面BDE的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=2x+2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=y+z=0}\end{array}\right.$，令z=1，得y=-1，x=1．∴平面BDE的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（1，-1，1）．
又∵C（0，2，0），A（2，0，0），$\overrightarrow{AC}$=（-2，2，0），且AC⊥平面PDB，
∴平面PDB的一個法向量為$\overrightarrow{m}$=（1，-1，0）．
設(shè)二面角E-BD-P的平面角為α，
則cosα=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{3}•\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴二面角E-BD-P的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點評 本題考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．