Question

1．已知f（x）=$\frac{3}{4}{e^{x+\frac{1}{2}}}$，g（x）=ax³-x²-x+b（a，b∈R，a≠0），g（x）的圖象C在x=-$\frac{1}{2}$處的切線方程是y=$\frac{3}{4}x+\frac{9}{8}$．
（1）若?x₁，x₂∈（c，d），且x₁≠x₂，$\frac{{g（{x_1}）-g（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}$＜0成立，求c的最小值，d的最大值；
（2）探究函數(shù)h（x）=f（x）-（$\frac{3}{4}x+\frac{9}{8}$）在（-∞，2]上零點的個數(shù)．

Answer 1

分析 （1）利用g（x）的圖象C在x=-$\frac{1}{2}$處的切線方程是y=$\frac{3}{4}x+\frac{9}{8}$，求出a，b；?x₁，x₂∈（c，d）且${x_1}≠{x_2}，\frac{{g（{x_1}）-g（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＜0$成立?g（x）在（c，d）上單調(diào)減，可得$（c，d）⊆（-\frac{1}{3}，1）$，即可求c的最小值，d的最大值；
（2）確定?x∈（-∞，2]，且$x≠-\frac{1}{2}$時，h（x）＞0，即可探究函數(shù)h（x）=f（x）-（$\frac{3}{4}x+\frac{9}{8}$）在（-∞，2]上零點的個數(shù)．

解答 解：（1）g'（x）=3ax²-2x-1，
因為g（x）=ax³-x²-x+b的圖象C在$x=-\frac{1}{2}$處的切線方程是$y=\frac{3}{4}x+\frac{9}{8}$，
所以$g'（-\frac{1}{2}）=\frac{3}{4}$，即$3a{（-\frac{1}{2}）^2}-2×（-\frac{1}{2}）-1=\frac{3}{4}$，解得a=1．
因為圖象C過點$A（-\frac{1}{2}，\frac{3}{4}）$，
所以${（-\frac{1}{2}）^3}-{（-\frac{1}{2}）^2}-（-\frac{1}{2}）+b=\frac{3}{4}$，解得$b=\frac{5}{8}$．
?x₁，x₂∈（c，d）且${x_1}≠{x_2}，\frac{{g（{x_1}）-g（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＜0$成立?g（x）在（c，d）上單調(diào)減，
令g'（x）=3x²-2x-1＜0，得g（x）的減區(qū)間是$（-\frac{1}{3}，1）$，所以$（c，d）⊆（-\frac{1}{3}，1）$，
所以c的最小值是$-\frac{1}{3}$，d的最大值是1．
（2）?x∈（-∞，2]，$h（x）=f（x）-（\frac{3}{4}x+\frac{9}{8}）=\frac{3}{4}{e^{x+\frac{1}{2}}}-\frac{3}{4}x-\frac{9}{8}$，$h'（x）=\frac{3}{4}{e^{x+\frac{1}{2}}}-\frac{3}{4}$，
令$h'（x）=0，x=-\frac{1}{2}$，當(dāng)$x∈（-∞，-\frac{1}{2}）$時，h'（x）＜0，
當(dāng)$x∈（-\frac{1}{2}，2）$時，h'（x）＞0，
所以$h（x）≥h（-\frac{1}{2}）=0$，（當(dāng)且僅當(dāng)x=-$\frac{1}{2}$時，取等號）
即?x∈（-∞，2]，且$x≠-\frac{1}{2}$時，h（x）＞0，
所以函數(shù)$h（x）=f（x）-（\frac{3}{4}x+\frac{9}{8}）$在（-∞，2]上有唯一的零點$-\frac{1}{2}$．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的綜合運用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的零點，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．