Question

已知△ABC的頂點(diǎn)A（0，1），AB邊上的中線(xiàn)CD所在的直線(xiàn)方程為2x-2y-1=0，AC邊上的高BH所在直線(xiàn)的方程為y=0．
（1）求△ABC的頂點(diǎn)B、C的坐標(biāo)；
（2）若圓M經(jīng)過(guò)不同的三點(diǎn)A、B、P（m，0），且斜率為1的直線(xiàn)與圓M相切于點(diǎn)P，求圓M的方程；
（3）問(wèn)圓M是否存在斜率為1的直線(xiàn)l，使l被圓M截得的弦為DE，以DE為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)．若存在，寫(xiě)出直線(xiàn)l的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由AC邊上的BH所在的直線(xiàn)方程為y=0，即為x軸，根據(jù)兩直線(xiàn)垂直時(shí)滿(mǎn)足的關(guān)系，得到AC所在直線(xiàn)應(yīng)為y軸，即x=0，與中線(xiàn)CD所在的直線(xiàn)方程聯(lián)立組成方程組，求出方程組的解集得到C的坐標(biāo)，由B在x軸上，設(shè)出B的坐標(biāo)為（b，0），利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式表示出AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，代入中線(xiàn)CD所在直線(xiàn)的方程，求出b的值，確定出B的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)垂徑定理得到弦AB的垂直平分線(xiàn)過(guò)圓心M，根據(jù)AB的斜率，利用兩直線(xiàn)垂直時(shí)斜率的乘積為-1求出弦AB垂直平分線(xiàn)的斜率，再由AB中點(diǎn)坐標(biāo)，寫(xiě)出弦AB垂直平分線(xiàn)的方程，又圓M與直線(xiàn)x-y+3=0相切，由切點(diǎn)P以及求出的斜率寫(xiě)出此直線(xiàn)的方程，與弦AB垂直平分線(xiàn)的方程聯(lián)立組成方程組，求出方程組的解可得出圓心M的坐標(biāo)，再由A和M的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出|AM|的長(zhǎng)，即為圓M的半徑，由圓心和半徑寫(xiě)出圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程，化簡(jiǎn)后即可得到圓M的方程．
（3）設(shè)出直線(xiàn)方程利用直線(xiàn)與圓的方程聯(lián)立方程組，通過(guò)判別式與韋達(dá)定理，利用DE為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)．得到x₁x₂+y₁y₂=0，求出k的值，然后求出直線(xiàn)方程．
解答：解：（1）∵AC邊上的高BH所在直線(xiàn)的方程為y=0，即為x軸，
∴直線(xiàn)AC的方程為y軸，即為直線(xiàn)x=0，又直線(xiàn)CD：2x-2y-1=0，
聯(lián)立得：解得：∴C（0，-），
設(shè)B（b，0），又A（0，1），
∴AB的中點(diǎn)D（，），
把D坐標(biāo)代入方程2x-2y-1=0得：b-1-1=0，解得：b=2，
∴B（2，0）；（4分）
（2）由A（0，1），B（2，0）可得：
線(xiàn)段AB中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，），k_AB=-，
∴弦AB垂直平分線(xiàn)的斜率為2，
則圓M的弦AB的中垂線(xiàn)方程為4x-2y-3=0，①
又圓M與x-y+3=0相切，切點(diǎn)為（-3，0），且x-y+3=0的斜率為1，
∴圓心所在直線(xiàn)方程的斜率為-1，
則圓心所在直線(xiàn)為y-0=-x+3），即y+x+3=0，②
聯(lián)立①②，
解得：，∴M（，），（6分）
∴半徑|MA|==，所以所求圓方程為（x+）²+（y+）²=，
即x²+y²+x+5y-6=0．  （8分）
（3）假設(shè)存在直線(xiàn)l，不妨設(shè)所求直線(xiàn)l方程為y=x+k，D（x₁，y₁），E（x₂，y₂）
聯(lián)立方程得：2x²+（2k+6）x+k²+5k-6=0…（9分）
又△=（2k+6）²-8（k²+5k-6）＞0得-7＜k＜3…（10分）
，x₁+x₂=-（k+3），…（11分）
依題意得   x₁x₂+y₁y₂=0…（12分）
故k²+2k-6=0解得：…（13分）
經(jīng)驗(yàn)證，滿(mǎn)足題意．
故所求直線(xiàn)方程為：或…（14分）
點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，涉及的知識(shí)有：線(xiàn)段中點(diǎn)坐標(biāo)公式，兩直線(xiàn)垂直時(shí)斜率滿(mǎn)足的關(guān)系，直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程，切線(xiàn)的性質(zhì)，垂徑定理，以及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，是一道綜合性較強(qiáng)的�？碱}．