Question

6．對(duì)任意實(shí)數(shù)$x，y，z，\sqrt{{x^2}+{y^2}+{z^2}}+\sqrt{{{（x+\sqrt{2}）}^2}+{{（y-5）}^2}+{{（z-3）}^2}}$的最小值為6．

Answer 1

分析 設(shè)Q（-$\sqrt{2}$，5，3），利用兩點(diǎn)之間的距離公式及其三角形兩邊大于第三邊的性質(zhì)，解出即可得出．

解答 解：$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}$表示點(diǎn)P（x，y，z）到原點(diǎn)O（0，0，0）的距離，
$\sqrt{（x+\sqrt{2}）^{2}+（y-5）^{2}+（z-3）^{2}}$，表示點(diǎn)P（x，y，z）到Q（-$\sqrt{2}$，5，3）的距離，
∴任意實(shí)數(shù)$x，y，z，\sqrt{{x^2}+{y^2}+{z^2}}+\sqrt{{{（x+\sqrt{2}）}^2}+{{（y-5）}^2}+{{（z-3）}^2}}$≥|OQ|=$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+{5}^{2}+{3}^{2}}$=6，
當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P（x，y，z）在線段OQ上時(shí)取等號(hào)．
故答案為：6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間兩點(diǎn)之間的距離公式、不等式的性質(zhì)、數(shù)形結(jié)合方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．