Question

10．已知函數(shù)f（x）=[2sin（x+$\frac{2π}{3}$）+sinx]cosx-$\sqrt{3}$sin²x．
（1）求f（x）圖象的對(duì)稱軸方程；
（2）若存在實(shí)數(shù)t∈[0，$\frac{5π}{12}$]，使得sf（t）-2=0成立，求實(shí)數(shù)s的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先利用降冪公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后利用輔助角公式將f（x）化成$\sqrt{3}$cos2x，最后根據(jù)余弦函數(shù)的對(duì)稱性求出對(duì)稱軸方程即可；
（2）根據(jù)t的范圍，求出2t的范圍，再結(jié)合余弦函數(shù)單調(diào)性求出函數(shù)的值域，從而可求出t的范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=[2sin（x+$\frac{2π}{3}$）+sinx]cosx-$\sqrt{3}$sin²x
=[2（sinxcos$\frac{2π}{3}$+cosxsin$\frac{2π}{3}$）+sinx]cosx-$\sqrt{3}$sin²x
=[-sinx+$\sqrt{3}$cosx+sinx]cosx-$\sqrt{3}$sin²x
=$\sqrt{3}$cos²x-$\sqrt{3}$sin²x
=$\sqrt{3}$cos2x，
由2x=kπ，得：x=$\frac{kπ}{2}$，（k∈z），
∴f（x）圖象的對(duì)稱軸方程是：x=$\frac{kπ}{2}$，（k∈z），
（2）當(dāng)t∈[0，$\frac{5}{12}$π]時(shí)，2t∈[0，$\frac{5}{6}$π]，
cos（2t）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
從而f（t）∈[-$\frac{3}{2}$，$\sqrt{3}$]，
由sf（t）-2=0可知：s≥$\frac{2\sqrt{3}}{3}$或s≤-$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了余弦函數(shù)的對(duì)稱性，以及余弦函數(shù)的值域，屬于中檔題．