Question

雙曲線x²-y²=2的左右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，點P_n（x_n，y_n）（n∈N^*）在其右支上，且滿足||=||，•=0，則x₂₀₁₀=________．

Answer 1

4020
分析：由題意，知e=，|P_nF₁|=|+|=+，|P_n+1F₂|=|-|=-，x_n+1=x_n+2，又P₁F₂⊥F₁F₂，求出x₁，由此根據(jù)等差數(shù)列的通項公式能求出x₂₀₁₀．
解答：依題意，雙曲線x²-y²=2，
∴a=b=，c=2，
它的離心率：e=，準線方程為：x=±1．焦點坐標（±2，0）．
設點P_n到左準線的距離為d，
根據(jù)雙曲線的第二定義得：
||=d×e，
∴||=|+|=+，
同理：||=|-|=-，
因為||=||，
所以x_n+1=x_n+2，數(shù)列{x_n}構成一個等差數(shù)列，
又•=0，∴P₁F₂⊥F₁F₂，
∴x₁=c=2，
∴x_n=2n，
∴x₂₀₁₀=4020．
故答案為4020．
點評：本題主要考查了雙曲線的簡單性質(zhì)、數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關系，以及等差數(shù)列的判斷，屬于圓錐曲線與數(shù)列的綜合題．