Question

過點(diǎn)（0，3）作直線l，若l與曲線x²-y²=4只有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線l共有（　�。�

A．一條

B．二條

C．三條

D．四條

Answer 1

分析：先設(shè)出直線l的方程，代入雙曲線方程，消y，得到關(guān)于x的方程，若為一元一次方程，則直線l與雙曲線相交有一個(gè)交點(diǎn)，若為一元二次方程，判別式△等于0，則直線與雙曲線相切，有一個(gè)切點(diǎn)，求出滿足這兩種情況的k值，即可得到可能的直線條數(shù)．

解答：解：∵點(diǎn)（0，3）在y軸上，∴直線l斜率存在．
設(shè)直線l的方程為y=kx+3，代入曲線x²-y²=4中，得，
（1-k²）x²-6kx-13=0，
當(dāng)1-k²=0，即k=1或-1時(shí)，直線l與曲線x²-y²=4相交，有一個(gè)交點(diǎn)
當(dāng)1-k²≠0，△=（6k）²+4×13（1-k²）=0，即k=±

13

2

時(shí)，直線l與曲線x²-y²=4相切，有一個(gè)公共點(diǎn)．
∴曲線x²-y²=4只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線l共有4條
故選D

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線有一個(gè)公共點(diǎn)的情況的判斷，不要丟掉相交有一個(gè)交點(diǎn)的情況．