Question

（2011•重慶一模）已知函數(shù)f（x）=

x+a

x+1

（a為常數(shù)）．
（I）若a=0，解不等式f（x）＞2；
（II）解關(guān)于x的不等式f（x-1）＞0．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a(bǔ)=0代入f（x），確定出解析式，把確定出的函數(shù)解析式代入不等式，移項(xiàng)通分后，在不等式兩邊同時(shí)除以-1，不等號(hào)方向改變，轉(zhuǎn)化為兩數(shù)相乘積為負(fù)，根據(jù)兩數(shù)相乘的取符號(hào)法則得到x+2與x+1異號(hào)，可得出此時(shí)不等式的解集，即為原不等式的解集；
（II）把函數(shù)解析式中的x化為x-1，確定出f（x-1），代入不等式中，并把兩數(shù)相除轉(zhuǎn)化為兩數(shù)相乘的形式，由1-a與0的大小，分三種情況考慮：1-a大于0，根據(jù)不等式的取解集法則：大于大的，小于小的，得到原不等式的解集；當(dāng)1-a=0時(shí)，顯然x取不為0的實(shí)數(shù)，可得出原不等式的解集；當(dāng)1-a小于0時(shí)，根據(jù)不等式的取解集法則：大于大的，小于小的，得到原不等式的解集．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)a=0時(shí)，即不等式化為

x

x+1

＞2，
整理得：

x

x+1

-2＞0，即

-(x+2)

x+1

＞0，
即

x+2

x+1

＜0，
等價(jià)于（x+2）（x+1）＜0，…（2分）
解得：-2＜x＜-1，
則f（x）＞2的解集為：{x|-2＜x＜-1}；…（5分）
（Ⅱ）f（x-1）=

x-1+a

x

＞0，即x（x-1+a）＞0，…（6分）
∴當(dāng)1-a＞0，即a＜1時(shí)，不等式的解集為：{x|x＞1-a或x＜0}；  …（8分）
當(dāng)1-a=0，即a=1時(shí)，不等式的解集為：{x|x∈R且x≠0}；…（10分）
當(dāng)1-a＜0，即a＞1時(shí)，不等式的解集為：{x|x|x＞0或x＜1-a}．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了其他不等式的解法，利用了轉(zhuǎn)化及分類討論的數(shù)學(xué)思想，是高考中常考的題型．