Question

【題目】已知函數(shù)f（x）是定義在區(qū)間[﹣1，1]上的奇函數(shù)，且f（1）=1，若對于任意的m、n∈[﹣1，1]有 ．
（1）判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性；
（2）解不等式 ；
（3）若f（x）≤﹣2at+2對于任意的x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣1，1]上是增函數(shù)：

證明：由題意可知，對于任意的m、n∈[﹣1，1]有 ，

可設(shè)x1=m，x2=﹣n，則 ，即 ，

當x1＞x2時，f（x1）＞f（x2），

∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣1，1]上是增函數(shù)；

當x1＜x2時，f（x1）＜f（x2），

∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣1，1]上是增函數(shù)；

綜上：函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣1，1]上是增函數(shù)

（2）由（1）知函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣1，1]上是增函數(shù)，

又由 ，

得 ，解得 ，

∴不等式 的解集為

（3）∵函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣1，1]上是增函數(shù)，且f（1）=1，

要使得對于任意的x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]都有f（x）≤﹣2at+2恒成立，

只需對任意的a∈[﹣1，1]時﹣2at+2≥1，即﹣2at+1≥0恒成立，

令y=﹣2at+1，此時y可以看做a的一次函數(shù)，且在a∈[﹣1，1]時y≥0恒成立，

因此只需要 ，解得 ，

∴實數(shù)t的取值范圍為：

【解析】（1）設(shè)x1=m，x2=﹣n，由已知可得 ，分x1＞x2 ， 及x1＜x2兩種情況可知f（x1）與f（x2）的大小，借助單調(diào)性的定義可得結(jié)論；（2）利用函數(shù)單調(diào)性可得去掉不等式中的符號“f”，轉(zhuǎn)化為具體不等式，再考慮到函數(shù)定義域可得不等式組，解出即可；（3）要使得對于任意的x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]都有f（x）≤﹣2at+2恒成立，只需對任意的a∈[﹣1，1]時﹣2at+2≥f（x）max ， 整理后化為關(guān)于a的一次函數(shù)可得不等式組；
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解奇偶性與單調(diào)性的綜合的相關(guān)知識，掌握奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性．