設(shè)函數(shù)f0(x)=x2e-
1
2
x
,記f0(x)的導(dǎo)函數(shù)f'0(x)=f1(x),f1(x)的導(dǎo)函數(shù)f'1(x)=f2(x),f2(x)的導(dǎo)函數(shù)f'2(x)=f3(x),…,fn-1(x)的導(dǎo)函數(shù)f'n-1(x)=fn(x),n=1,2,….
(1)求f3(0);
(2)用n表示fn(0);
(3)設(shè)Sn=f2(0)+f3(0)+…+fn+1(0),是否存在n∈N*使Sn最大?證明你的結(jié)論.
(1)易得,f1(x)=(-
1
2
x2+2x)e -
1
2
x

f2(x)=(
1
4
x2-2x+2)e -
1
2
x
,
f3(x)=(-
1
8
x2+
3
2
x-3)e -
1
2
x

∴f3(0)=-3.
(2)不失一般性,設(shè)函數(shù)fn-1(x)=(an-1x2+bn-1x+cn-1)eλx,導(dǎo)函數(shù)為fn(x)=(anx2+bnx+cn)eλx,
其中n=1,2,…,常數(shù)λ≠0,a0=1,b0=c0=0.
對fn-1(x)求導(dǎo)得:fn-1′(x)=[λan-1x2+(2an-1+λbn-1]x+(bn-1+λcn-1)]eλx,
故由fn-1′(x)=fn(x)得:an=λan-1    ①,
bn=2an-1+λbn-1 ②,
cn=2bn-1+λcn-1  ③
由①得:ann,n∈N,
代入②得:bn=2λn+λbn-1,即
bn
λn
=
2
λ
+
bn-1
λn-1
,其中n=1,2,…,
故得:bn=2n•λn-2+λcn-1
代入③得:cn=2nλn-2+λcn-1,即
cn
λn
=
2n
λ2
+
cn-1
λn-1
,其中n=1,2,…,
故得:cn=n(n-1)•λn-2,
因此fn(0)=cn=n(n-1)λn-2
將λ=-
1
2
代入得:fn(0)=n(n-1)(-
1
2
n-2.其中n∈N.
(3)由(2)知fn+1(0)=n(n+1)(-
1
2
n-1,
當(dāng)n=2k(k=1,2,…)時,S2k-S2k-1=f2k+1(0)=2k(2k+1)(-
1
2
)2k-1
<0,
∴S2k-S2k-1<0,S2k<S2k-1故當(dāng)Sn最大時,n為奇數(shù).
當(dāng)n=2k+1(k≥2)時,S2k+1-S2k-1=f2k+2(0)+f2k+1(0)
又f2k+2(0)=(2k+1)(2k+2)(-
1
2
)2k
,f2k+1(0)=2k(2k+1)(-
1
2
)
2k-1
,
∴f2k+2(0)+f2k+1(0)=(2k+1)(2k+2)(-
1
2
)2k
+2k(2k+1)(-
1
2
)
2k-1
=(2k+1)(k-1)(-
1
2
)
2k-1
<0,
∴S2k+1<S2k-1,因此數(shù)列{S2k+1}是遞減數(shù)列
又S1=f2(0),S3=f2(0)+f3(0)+f3(0)=2,
故當(dāng)n=1或n=3時,Sn取最大值S1=S3=2.
練習(xí)冊系列答案
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1
2
|
,fn(x)=|fn-1(x)-
1
2n
|
,(n≥1,n∈N),則方程f1(x)=
1
3
4
4
個實數(shù)根,方程fn(x)=(
1
3
)n
2n+1
2n+1
個實數(shù)根.

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(2013•江門二模)設(shè)函數(shù)f0(x)=x2e-
12
x
,記f0(x)的導(dǎo)函數(shù)f'0(x)=f1(x),f1(x)的導(dǎo)函數(shù)f'1(x)=f2(x),f2(x)的導(dǎo)函數(shù)f'2(x)=f3(x),…,fn-1(x)的導(dǎo)函數(shù)f'n-1(x)=fn(x),n=1,2,….
(1)求f3(0);
(2)用n表示fn(0);
(3)設(shè)Sn=f2(0)+f3(0)+…+fn+1(0),是否存在n∈N*使Sn最大?證明你的結(jié)論.

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