Question

給定函數(shù)f（x）=log_a|log_ax|（a＞0，a≠1）．
（1）當(dāng)f（x）＞0時(shí)，求x的取值范圍；
（2）當(dāng)0＜a＜1，x＞1時(shí)，判斷f（x）的單調(diào)性并予以證明．

Answer 1

分析：（1）對(duì)a值分類(lèi)討論：0＜a＜1時(shí)；a＞1時(shí)，根據(jù)當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）在定義域內(nèi)是增函數(shù)，可推斷出f（x）＞0，進(jìn)而可知|log_ax|＞1進(jìn)而求得x的范圍，同理求出當(dāng)0＜a＜1時(shí)的x的取值范圍．
（2）利用定義法（作差法），任取x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，確定f（x₁）-f（x₂）的符號(hào)，即可根據(jù)單調(diào)性的定義得到結(jié)論．

解答：解：（1）0＜a＜1時(shí)，由f（x）＞0⇒0＜|log_ax|＜1⇒0＜log_ax＜1或-1＜log_ax＜0，
∴a＜x＜1或1＜x＜

1

a

．
a＞1時(shí)，由f（x）＞0⇒|log_ax|＞1⇒log_ax＞1或log_ax＜-1，
∴x＞a或0＜x＜

1

a

．
（2）當(dāng)0＜a＜1，x＞1時(shí)，f（x）單調(diào)遞減．證明如下：
設(shè)1＜x₁＜x₂，f(x1)-f(x2)=loga(-logax1)-loga(-logax2)=loga

logax1

logax2

=logalogx2x1，
由于1＜x₁＜x₂，
所以0＜logx2x1＜logx2x2=1，又0＜a＜1，故logalogx2x1＞0．
∴f（x）單調(diào)遞減．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是帶絕對(duì)值的函數(shù)、函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，是必須一難點(diǎn)的集中考查，熟練掌握函數(shù)單調(diào)性、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．