Question

 ABCD-A₁B₁C₁D₁是正四棱柱.

（Ⅰ）求證：BD⊥平面ACC₁A₁;

（Ⅱ）若二面角C₁-BD-C的大小為60^o,求異面直線BC₁與AC所成角的大小.

Answer 1

解法一：

（Ⅰ）∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正四棱柱，∴CC₁⊥平面ADCD, ∴BD⊥CC₁

∵ABCD是正方形   ∴BD⊥AC   又∵AC，CC₁平面ACC₁A₁,

且AC∩CC₁=C,   ∴BD⊥平面ACC₁A₁.

 (Ⅱ) 設(shè)BD與AC相交于O,連接C₁O.  ∵CC₁⊥平面ADCD, ∴BD⊥AC,

  ∴BD⊥C₁O,  ∴∠C₁OC∠是二面角C₁-BD-C的平面角，

∴∠C₁OC=60^o.  連接A1B.   ∵A₁C₁//AC,    ∴∠A₁C₁B是BC₁與AC所成的角.

設(shè)BC=a,則∴異面直線BC₁與AC所成角的大小為

解法二：

 （Ⅰ）建立空間直角坐標系D-xyz，如圖.

設(shè)AD=a,DD₁=b,則有D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),C₁(0,a,b),

(Ⅱ)設(shè)BD與AC相交于O,連接C₁O,則點O坐標為

∴異面直線BC₁與AC所成角的大小為