Question

5．已知函數(shù)y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，對?x∈R都有f（x-3）=f（x-1）成立，當，x∈（0，1]且x₁≠x₂時，有$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜0，給出下列命題：
（1）f（x）在[-2，2]上有5個零點
（2）點（2016，0）是函數(shù)y=f（x）的一個對稱中心
（3）直線x=2016是函數(shù)y=f（x）圖象的一條對稱軸
（4）f（9.2）＜f（π）
則正確的是（1）（2）（4）．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)可知f（0）=0，且函數(shù)y=f（x）是以2為周期的函數(shù)，并在區(qū)間（0，1]上單調遞減，從而可判斷出f（x）在[-2，2]上有5個零點；
（2）依題意，知點（0，0）為其對稱中心，利用其周期性可知點（2016，0）是函數(shù)y=f（x）的一個對稱中心；
（3）作出函數(shù)y=f（x）的圖象可知直線x=2016不是函數(shù)y=f（x）圖象的一條對稱軸；
（4）利用函數(shù)y=f（x）的周期性與在區(qū)間[1，2）上為減函數(shù)可判斷出f（9.2）＜f（π）．

解答 解：對于（1），∵函數(shù)y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0，
又f（x-3）=f（x-1），∴函數(shù)y=f（x）是以2為周期的函數(shù)，
且f（1-3）=f（1-1），即f（-2）=f（0）=0，又f（2）=-f（-2），∴f（2）=0；
同理可得，f（1）=f（-1）=0，
又當x∈（0，1]且x₁≠x₂時，有$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜0，即奇函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（0，1]上單調遞減，故函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-1，0）上也單調遞減，
由函數(shù)y=f（x）是以2為周期的函數(shù)可知函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（-2，-1]、[1，2）上單調遞減，
∴f（x）在區(qū)間[-2，2]上有±1、0、±2共5個零點，故（1）正確；
對于（2），∵函數(shù)y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，∴（0，0）為其對稱中心，
又函數(shù)y=f（x）的是以2為周期的函數(shù)，
∴點（2016，0）是函數(shù)y=f（x）的一個對稱中心，故（2）正確；
對于（3），作出函數(shù)y=f（x）的圖象如下：

（3）直線x=2016不是函數(shù)y=f（x）圖象的一條對稱軸，故（3）錯誤；
對于（4），∵函數(shù)y=f（x）的是以2為周期的函數(shù)且在區(qū)間[1，2）上為減函數(shù)，
∴f（9.2）=f（1.2）＜f（π-2）=f（π），故（4）正確．
綜上所述，正確的是：（1）（2）（4），
故答案為：（1）（2）（4）．

點評 本題考查抽象函數(shù)及其應用，著重考查函數(shù)的單調性、周期性、對稱性的綜合應用，考查等價轉化思想與數(shù)形結合思想的運用，考查推理運算能力，屬于難題．