Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²在點(diǎn)（3，f（3））處的切線方程為12x+2y-27=0，且對任意的x∈[0，+∞），f'（x）≤kln（x+1）恒成立．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）求實(shí)數(shù)k的最小值；
（Ⅲ）求證：（n∈N^*）．

Answer 1

（Ⅰ）解：將x=3代入直線方程得，
∵點(diǎn)（3，f（3））在函數(shù)f（x）=ax³+bx²的圖象上，∴①
由f'（x）=3ax²+2bx，f'（3）=-6，∴27a+6b=-6②
聯(lián)立①②，解得．
∴；
（Ⅱ）解：由f'（x）=-x²+x，∴對任意的x∈[0，+∞），f'（x）≤kln（x+1）恒成立，
即-x²+x≤kln（x+1）在x∈[0，+∞）上恒成立；
也就是x²-x+kln（x+1）≥0在x∈[0，+∞）恒成立；
設(shè)g（x）=x²-x+kln（x+1），g（0）=0，
∴只需對于任意的x∈[0，+∞）有g(shù)（x）≥g（0）即可．

設(shè)h（x）=2x²+x+k-1，
（1）當(dāng)△=1-8（k-1）≤0，即時，h（x）≥0，∴g'（x）≥0，∴g（x）在[0，+∞）單調(diào)遞增，
∴g（x）≥g（0）
（2）當(dāng)△=1-8（k-1）＞0，即時，設(shè)是方程2x²+x+k-1=0的兩根且x₁＜x₂
由，可知x₁＜-，
要使對任意x∈[0，+∞）有g(shù)（x）≥g（0），只需，
即k-1≥0，∴k≥1，∴
綜上分析，實(shí)數(shù)k的最小值為1．
（Ⅲ）證明：因?yàn)楫?dāng)k=1時，有f'（x）≤kln（x+1）恒成立，即-x²+x≤ln（x+1），也就是x≤x²+ln（x+1）在x∈[0，+∞）恒成立；
令，得．
∴≤
=

=．
∴原不等式得證．
分析：（Ⅰ）由點(diǎn)（3，f（3））在切線上，可求點(diǎn)的縱坐標(biāo)，又在曲線上，把求得的點(diǎn)的坐標(biāo)代入曲線方程可得一個關(guān)于a，b的方程，再根據(jù)函數(shù)在點(diǎn)（3，f（3））處的切線的斜率列關(guān)于a，b的第二個方程，聯(lián)立后即可求得a，b的值，則函數(shù)解析式可求；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)后代入f′（x）≤kln（x+1），把對任意的x∈[0，+∞），f′（x）≤kln（x+1）恒成立轉(zhuǎn)化為x²-x+klnx≥0在x∈[0，+∞）恒成立，引入輔助函數(shù)g（x）=x²-x+kln（x+1），而g（0）=0，則問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)g（x）=x²-x+kln（x+1）在[0，+∞）上為增函數(shù)，求k的值．把函數(shù)g（x）求導(dǎo)后，通過滿足導(dǎo)函數(shù)在[0，+∞）上恒大于等于0可求實(shí)數(shù)k的取值范圍．
（Ⅲ）當(dāng)k=1時，（Ⅱ）中的結(jié)論變?yōu)?x²+x≤ln（x+1），也就是x≤x²+ln（x+1）在x∈[0，+∞）恒成立，取后利用對數(shù)式的性質(zhì)展開，作和后先放縮再裂項(xiàng)，整理即可得到結(jié)論．
點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的切線方程問題，在曲線上某點(diǎn)處的切線的斜率就是該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值，考查了導(dǎo)數(shù)在最大值和最小值中的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和分類討論的數(shù)學(xué)思想．特別是（Ⅲ）的證明，用到了放縮法和裂項(xiàng)相消，此題屬難度較大的題目．