【錯解分析】此題學(xué)生都能通過條件
將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于
的函數(shù),進(jìn)而利用換元的思想令
將問題變?yōu)殛P(guān)于t的二次函數(shù)最值求解。但極易忽略換元前后變量的等價性而造成錯解,
【正解】由已知條件有
且
(結(jié)合
)
得
,而
=
=
令
則原式=
根據(jù)二次函數(shù)配方得:當(dāng)
即
時,原式取得最大值
。
【點評】“知識”是基礎(chǔ),“方法”是手段,“思想”是深化,提高數(shù)學(xué)素質(zhì)的核心就是提高學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識和運(yùn)用,數(shù)學(xué)素質(zhì)的綜合體現(xiàn)就是“能力”,解數(shù)學(xué)題時,把某個式子看成一個整體,用一個變量去代替它,從而使問題得到簡化,這叫換元法。換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化,關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元,理論依據(jù)是等量代換,目的是變換研究對象,將問題移至新對象的知識背景中去研究,從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡單化,變得容易處理。換元法又稱輔助元素法、變量代換法。通過引進(jìn)新的變量,可以把分散的條件聯(lián)系起來,隱含的條件顯露出來,或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來。或者變?yōu)槭煜さ男问,把?fù)雜的計算和推證簡化。