Question

求下列函數(shù)的值域：
(1) y＝x－；
(2) y＝x²－2x－3，x∈(－1，4]；
(3) y＝，x∈[3，5]；
(4) y＝ (x>1)．

Answer 1

（1）（2）[－4，5]．（3）（4）[2－2，＋∞)．

(1) (換元法)設(shè)＝t，t≥0，則y＝ (t²＋2)－t＝²－，當(dāng)t＝時(shí)，y有最小值－，故所求函數(shù)的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824040709942713.png" style="vertical-align:middle;" />.
(2) (配方法)配方，得y＝(x－1)²－4，因?yàn)閤∈(－1，4]，結(jié)合圖象知，所求函數(shù)的值域?yàn)閇－4，5]．
(3) (解法1)由y＝＝2－，結(jié)合圖象知，函數(shù)在[3，5]上是增函數(shù)，所以y_max＝，y_min＝，故所求函數(shù)的值域是.
(解法2)由y＝，得x＝.因?yàn)閤∈[3，5]，所以3≤≤5，解得≤y≤，
即所求函數(shù)的值域是.
(4) (基本不等式法)令t＝x－1，則x＝t＋1(t>0)，
所以y＝＝t＋－2(t>0)．
因?yàn)閠＋≥2＝2，當(dāng)且僅當(dāng)t＝，即x＝＋1時(shí)，等號(hào)成立，
故所求函數(shù)的值域?yàn)閇2－2，＋∞)．