已知函數(shù)f(x)=(mx+n)e-x(m,n∈R,e是自然對數(shù)的底)
(1)若函數(shù)f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為x+ey-3=0,試確定函數(shù)f(x)的單調區(qū)間;
(2)①當n=-1,m∈R時,若對于任意x∈[
12
,2]
,都有f(x)≥x恒成立,求實數(shù)m的最小值;
②當m=n=1時,設函數(shù)g(x)=xf(x)+tf'(x)+e-x(t∈R),是否存在實數(shù)a,b,c∈[0,1],使得g(a)+g(b)<g(c)?若存在,求出t的取值范圍;若不存在,說明理由.
分析:(1)求導函數(shù),利用函數(shù)f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為x+ey-3=0,可得f(1)=
2
e
,f′(1)=-
1
e
,從而可得函數(shù)的解析式,利用導數(shù)的正負可得函數(shù)的單調區(qū)間;
(2)①對于任意x∈[
1
2
,2]
,都有f(x)≥x恒成立,等價于m≥ex+
1
x
,對于任意x∈[
1
2
,2]
恒成立,構造函數(shù)可得φ(x)的最大值是φ(
1
2
)和φ(2)中的較大的一個,由此可求m的最小值;
②假設存在a,b,c∈[0,1],使得g(a)+g(b)<g(c),則問題等價于2g(x)min<g(x)max,1求導函數(shù),分類討論求出函數(shù)的最值,即可求得結論.
解答:解:(1)由題意,f′(x)=
-mx+(m-n)
ex

∵函數(shù)f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為x+ey-3=0
∴f(1)=
2
e
,f′(1)=-
1
e

m+n
e
=
2
e
,
-n
e
=-
1
e

∴m=1,n=1
∴f(x)=(x+1)e-x,f′(x)=-
x
ex

令f′(x)>0,可得x<0,令f′(x)<0,可得x>0,
∴f(x)在(0,+∞)上單調遞減,在(-∞,0)上單調遞增;
(2)①當n=-1,m∈R時,
mx-1
ex
≥x
,即m≥ex+
1
x

對于任意x∈[
1
2
,2]
,都有f(x)≥x恒成立,等價于m≥ex+
1
x
,對于任意x∈[
1
2
,2]
恒成立
記φ(x)=ex+
1
x
,則φ′(x)=ex-
1
x2

記h(x)=ex-
1
x2
,則h′(x)=ex+
2
x3
>0對于任意x∈[
1
2
,2]
恒成立,
∴h(x)=ex-
1
x2
[
1
2
,2]
上單調遞增
h(
1
2
)=
e
-4<0,h(2)=e2-
1
4
>0

∴φ′(x)=ex-
1
x2
[
1
2
,2]
上有唯一的零點x0,
∴x∈(
1
2
,x0),φ′(x)<0,x∈(x0,2),φ′(x)>0
∴φ(x)在(
1
2
,x0)上單調遞減,在(x0,2)上單調遞增
∴φ(x)的最大值是φ(
1
2
)和φ(2)中的較大的一個
∴m≥φ(
1
2
)且m≥φ(2)
∴m≥
e
+2且m≥e2+
1
2

∴m的最小值為e2+
1
2
;
②假設存在a,b,c∈[0,1],使得g(a)+g(b)<g(c),則問題等價于2g(x)min<g(x)max,
∵g(x)=xf(x)+tf'(x)+e-x=
x2+(1-t)x+1
ex
,∴g′(x)=
-(x-t)(x-1)
ex

當t≥1時,在[0,1]上g′(x)≤0,∴g(x)在[0,1]上單調遞減,∴2g(1)<g(0),∴2×
3-t
e
<1,∴t>3-
e
2
>1

當t≤0時,在[0,1]上g′(x)≥0,∴g(x)在[0,1]上單調遞增,∴2g(0)<g(1),∴2<
3-t
e
,∴t<3-2e<0;
當0<t<1時,在[0,t)上,g′(x)<0,∴g(x)在[0,t)上單調遞減,在(t,1]上,g′(x)>0,∴g(x)在(t,1]上單調遞增,∴2g(t)<max{g(0),g(1)}
∴2×
t+1
et
<max1,
3-t
e

由(1)知f(t)=
t+1
et
在[0,1]上單調遞減,故
t+1
et
4
e
,
3-t
e
3
e

∴2×
t+1
et
<max1,
3-t
e
無解
綜上所述,存在t∈(-∞,3-2e)∪(3-
e
2
,+∞),使得命題成立.
點評:本題考查導數(shù)知識的運用,考查函數(shù)的單調性,考查恒成立問題,考查分類討論的數(shù)學思想,正確求導,合理分類是關鍵.
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(2)若函數(shù)y=f(2x+
π
4
)
的圖象關于直線x=
π
6
對稱,求φ的值.

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1
x

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m
2
]
,若g(x)在區(qū)間(1,3)上總不單調,求實數(shù)m的范圍.

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1
f(n)
}
的前n項和為Sn,則S2010的值為(  )
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

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