Question

已知：函數(shù)f（x）=ax²-2x+1．
（1）若≤a≤1，且f（x）在[1，3]上的最大值為M （a），最小值為N （a），令g（a）=M（a）-N （a），求g（a）的表達式；
（2）在（1）的條件下，求證：g（a）≥；
（3）設(shè)a＞0，證明對任意的x₁，x₂∈[，+∞），|f（x₁）-f（x₂）|≥a（x₁-x₂）．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=ax²-2x+1．
∴，
由得，
∴．
當，即時，
M（a）=f（3）=9a-5，
故；
當，即時，
M（a）=f（1）=a-1，
故．
∴．
（2）∵當時，
＜0，
∴函數(shù)g（a）在上為減函數(shù)；
當時，
，
∴函數(shù)g（a）在上為增函數(shù)，
∴當時，g（a）取最小值，
，
故．
（3）∵當a＞0時，拋物線f（x）=ax²-2x+1開口向上，
對稱軸為，
∴函數(shù)f（x）在上為增函數(shù)，
（或由f'（x）=2ax-2≥0得，
∴函數(shù)f（x）在上為增函數(shù)，
不妨設(shè)x₁≤x₂，由，
得f（x₁）≤f（x₂）
∴|f（x₁）-f（x₂）|≥a|x₁-x₂|，
∴f（x₂）-f（x₁）≥a（x₂-x₁），
∴f（x₂）-ax₂≥f（x₁）-ax₁
令φ（x）=f（x）-ax=ax²-（a+2）x+1，x∈
∵拋物線y=φ（x）開口向上，
對稱軸為，
且，
∴函數(shù)φ（x）在上單調(diào)遞增，
∴對任意的，x₂≥x₁，
有φ（x₂）≥φ（x₁），
即f（x₂）-ax₂≥f（x₁）-ax₁，
∴|f（x₁）-f（x₂）|≥a|x₁-x₂|．
分析：（1），由得．所以．當時，M（a）=f（3）=9a-5．當時，M（a）=f（1）=a-1，由此能求出g（a）的表達式．
（2）當時，＜0，所以函數(shù)g（a）在上為減函數(shù)；當時，，所以函數(shù)g（a）在上為增函數(shù)，由此能夠證明．
（3）當a＞0時，拋物線f（x）=ax²-2x+1開口向上，對稱軸為，函數(shù)f（x）在上為增函數(shù)；拋物線y=φ（x）開口向上，對稱軸為，且，函數(shù)φ（x）在上單調(diào)遞增．由此能夠證明|f（x₁）-f（x₂）|≥a|x₁-x₂|．
點評：本題考查二次函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強，是高考的重點，容易出易．解題時要認真審題，注意分類討論思想的靈活運用．