Question

15．張老師 上班，有路線①與路線②兩條路線可供選擇．
路線①：沿途有A，B兩處獨立運行的交通信號燈，且兩處遇到綠燈的概率依次為$\frac{1}{2}，\frac{2}{3}$，若A處遇到紅燈或黃燈，則導致延誤時間2分鐘；若B處遇到紅燈或黃燈，則導致延誤時間3分鐘；若兩處都遇到綠燈，則全程所花時間為20分鐘．
路線②：沿途有a，b兩處獨立運行的交通信號燈，且兩處遇到綠燈的概率依次為$\frac{3}{4}\frac{2}{5}$，若a處遇到紅燈或黃燈，則導致延誤時間8分鐘；若b處遇到紅燈或黃燈，則導致延誤時間5分鐘；若兩處都遇綠燈，則全程所化時間為15分鐘．
（1）若張老師選擇路線①，求他20分鐘能到校的概率；
（2）為使張老師日常上班途中所花時間較少，你建議張老師選擇哪條路線？說明理由．

Answer 1

分析 （1）走路線①20分鐘到校，意味著張老師在A、B處均遇到綠燈，由此能求出張老師選擇路線①，他20分鐘能到校的概率．
（2）設選擇khxg①延誤時間為隨機變量ξ，則ξ的所有可能取值為0，2，3，5，分別求出相應的概率，從而求出Eξ=2；設選擇路線②延誤時間為隨機變量η，則η的可能取值為0，8，5，13，分別求出相應的概率，從而求出Eη=5．由此求出為使張老師日常上班途中所花時間較少，建議張老師選擇路線②．

解答 解：（1）走路線①20分鐘到校，意味著張老師在A、B處均遇到綠燈，
∴張老師選擇路線①，他20分鐘能到校的概率p=$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}$=$\frac{1}{3}$．
（2）設選擇khxg①延誤時間為隨機變量ξ，則ξ的所有可能取值為0，2，3，5，
則P（ξ=0）=$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$，
P（ξ=2）=$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$，
P（ξ=3）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$，
P（ξ=4）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$，
Eξ=$0×\frac{1}{3}+2×\frac{1}{3}+3×\frac{1}{6}+5×\frac{1}{6}=2$．
設選擇路線②延誤時間為隨機變量η，則η的可能取值為0，8，5，13，
P（η=0）=$\frac{3}{4}×\frac{2}{5}=\frac{6}{20}$，
P（η=8）=$\frac{1}{4}×\frac{2}{5}=\frac{2}{20}$，
P（η=5）=$\frac{3}{4}×\frac{3}{5}$=$\frac{9}{20}$，
P（η=13）=$\frac{1}{4}×\frac{3}{5}=\frac{3}{20}$，
Eη=$0×\frac{6}{20}+8×\frac{2}{20}+5×\frac{9}{20}+13×\frac{3}{20}$=5．
∴選擇路線①平均所花時間為20+2=22分鐘；選擇路線②平均所花時間為15+5=20分鐘．
∴為使張老師日常上班途中所花時間較少，建議張老師選擇路線②．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的數(shù)學期望的求法及應用，是中檔題，解題時要認真審題，注意相互獨立事件概率乘法公式的合理運用．