Question

已知F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），動點P滿足|PF₁|-|PF₂|=2，記動點P的軌跡為S，過點F₂作直線l與軌跡S交于P、Q兩點，過P、Q作直線x=

1

2

的垂線PA、QB，垂足分別為A、B，記λ=|AP|•|BQ|．
（Ⅰ）求軌跡S的方程；
（Ⅱ）設點M（-1，0），求證：當λ取最小值時，△PMQ的面積為9．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由|PF₁|-|PF₂|=2＜|F₁F₂|知，點P的軌跡S是以F₁、F₂為焦點的雙曲線右支，結(jié)合焦點坐標，可求軌跡S的方程；（Ⅱ）當直線l的斜率存在時，設直線方程為y=k（x-2），與雙曲線方程聯(lián)立消y得（k²-3）x²-4k²x+4k²+3=0，結(jié)合韋達定理，及λ=|AP|•|BQ|，考慮直線斜率不存在，確定λ的最小值為

9

4

，從而可求△PMQ的面積．

解答：（Ⅰ）解：由|PF₁|-|PF₂|=2＜|F₁F₂|知，點P的軌跡S是以F₁、F₂為焦點的雙曲線右支．…（1分）
由c=2，2a=2，∴b²=3．               …（3分）
故軌跡S的方程為x²-

y2

3

=1 （x≥1）…（5分）
（Ⅱ）證明：當直線l的斜率存在時，…（6分）
設直線方程為y=k（x-2），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），與雙曲線方程聯(lián)立消y得（k²-3）x²-4k²x+4k²+3=0       …（7分）
∴

△＞0 x1+x2= 4k2 k2-3 ＞0 x1•x2= 4k2+3 k2-3 ＞0

解得k²＞3．…（9分）
∵λ=|AP|•|BQ|=|x1-

1

2

||x2-

1

2

|=

1

4

（2x₁-1）（2x₂-1）=

1

4

[4x₁x₂-2（x₁+x₂）+1]=x₁x₂-

x1+x2

2

+

1

4

       …（11分）
=

4k2+3

k2-3

-

2k2

k2-3

+

1

4

=

2k2+3

k2-3

+

1

4

=

9

4

+

9

k2-3

＞

9

4

．  …（12分）
當斜率不存在時，|AP|•|BQ|=

9

4

，∴λ的最小值為

9

4

．…（13分）
此時，|PQ|=6，|MF₂|=3，S_△PMQ=

1

2

||MF₂|•|PQ|=9．…（14分）

點評：本題考查雙曲線的標準方程，考查雙曲線的定義，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查三角形面積的計算，屬于中檔題．