已知一動(dòng)圓M,恒過點(diǎn)F(1,0),且總與直線l:x=-1相切.
(1)求動(dòng)圓圓心M的軌跡C的方程;
(2)探究在曲線C上,是否存在異于原點(diǎn)的A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),當(dāng)y1y2=-16時(shí),直線AB恒過定點(diǎn)?若存在,求出定點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,說明理由.
【答案】分析:(1)因?yàn)閯?dòng)圓M,過點(diǎn)F(1,0)且與直線l:x=-1相切,所以圓心M到F的距離等于到直線l的距離.由此能得到所求的軌跡方程.
(2)假設(shè)存在A,B在y2=4x上,所以,直線AB的方程:,令y=0,得x=4,所以,無論y1,y2為何值,直線AB過定點(diǎn)(4,0).
解答:解:(1)因?yàn)閯?dòng)圓M,過點(diǎn)F(1,0)且與直線l:x=-1相切,所以圓心M到F的距離等于到直線l的距離.
所以,點(diǎn)M的軌跡是以F為焦點(diǎn),l為準(zhǔn)線的拋物線,且,p=2,
所以所求的軌跡方程為y2=4x(5分)
(2)假設(shè)存在A,B在y2=4x上,
所以,直線AB的方程:,即(7分)
即AB的方程為:,即(y1+y2)y-y12-y1y2=4x-y12
即:(y1+y2)y+(16-4x)=0,(10分)
令y=0,得x=4,
所以,無論y1,y2為何值,直線AB過定點(diǎn)(4,0)(12分)
點(diǎn)評(píng):本題考查圓錐曲線的性質(zhì)和應(yīng)用,解題時(shí)要注意公式的合理運(yùn)用.
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