Question

12．已知函數(shù)f（x）=log_a（x²-3ax）對(duì)任意的x₁，x₂∈[$\frac{1}{2}$，+∞），x₁≠x₂時(shí)都滿足$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （0，1）
• B． （0，$\frac{1}{3}$]
• C． （0，$\frac{1}{6}$）
• D． （$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{3}$]

Answer 1

分析 通過(guò)討論a的范圍，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為a＜$\frac{x}{3}$在x∈[$\frac{1}{2}$，+∞）恒成立，求出a的范圍即可．

解答 解：a＞1時(shí)，f（x）遞增，顯然不滿足$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜0，
0＜a＜1時(shí)，只需g（x）=x²-3ax＞0在x∈[$\frac{1}{2}$，+∞）恒成立，
且g（x）在x∈[$\frac{1}{2}$，+∞）遞增，
即a＜$\frac{x}{3}$在x∈[$\frac{1}{2}$，+∞）恒成立且對(duì)稱軸$\frac{3a}{2}$≤$\frac{1}{2}$，
故a＜$\frac{1}{6}$，
故a的范圍是（0，$\frac{1}{6}$），
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，是一道中檔題．