Question

20．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a_n+S_n=1，a₁=$\frac{1}{2}$．
（1）求證：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（2）若公差為d的等差數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，b₃不大于S_n的最小值，求d的最大值．

Answer 1

分析 （1）由a_n+S_n=1，可得當(dāng)n≥2時(shí)，a_n-1+S_n-1=1，可得2a_n-a_n-1=0，即可證明；
（2）由（1）可得：S_n=1-$（\frac{1}{2}）^{n}$≥$\frac{1}{2}$．利用數(shù)列的單調(diào)性可得：當(dāng)n=1時(shí)，S_n取得最小值$\frac{1}{2}$，由題意可得：1+2d≤$\frac{1}{2}$，解出即可得出．

解答 （1）證明：∵a_n+S_n=1，∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_n-1+S_n-1=1，可得2a_n-a_n-1=0，即a_n=$\frac{1}{2}$a_n-1．
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)與公比都為$\frac{1}{2}$．
（2）解：由（1）可得：S_n=1-a_n=1-$（\frac{1}{2}）^{n}$≥$\frac{1}{2}$．
∴當(dāng)n=1時(shí)，S_n取得最小值$\frac{1}{2}$，
∵b₃不大于S_n的最小值，
∴1+2d≤$\frac{1}{2}$，
解得d≤$-\frac{1}{4}$，
∴d的最大值是$-\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、遞推關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．