Question

已知橢圓的兩焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，P是橢圓在第一象限內的一點，并滿足，過P作傾斜角互補的兩條直線PA，PB分別交橢圓于A，B兩點．
（Ⅰ）求P點坐標；
（Ⅱ）當直線PA經(jīng)過點（1，）時，求直線AB的方程；
（Ⅲ）求證直線AB的斜率為定值．

Answer 1

【答案】分析：（I）設P（（x，y），由題意可得，解得即可；
（II）由向量計算公式可得，兩條直線PA，PB傾斜角互補，可得k_PA+k_PB=0，解得k_PB=1．
因此直線PA，PB，的方程分別為，，分別與橢圓方程聯(lián)立即可解得點A，B的坐標，再利用斜率計算公式可得斜率，利用點斜式即可得出方程；
（III）S設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．設直線PA的方程為：，則直線PB的方程為．分別與橢圓方程聯(lián)立即可解得點A，B的坐標，再利用斜率計算公式即可得出直線AB的斜率為定值．
解答：解：（I）由橢圓可得c=，∴兩焦點分別為，．
設P（（x，y），由題意可得，解得，∴P．
（II）∵，兩條直線PA，PB傾斜角互補，
∴k_PA+k_PB=0，解得k_PB=1．
因此直線PA，PB，的方程分別為，，
化為，．
聯(lián)立，解得（舍去），，即A．
同理解得B．
∴k_AB==，∴直線AB的方程為，化為．
（III）S設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
設直線PA的方程為：，則直線PB的方程為．
聯(lián)立，解得A．
同理B，
∴k_AB==．
即直線AB的斜率為定值．
點評：熟練則直線與橢圓相交問題轉化為方程聯(lián)立得到關于一個未知數(shù)的一元二次方程問題、斜率公式、兩條直線PA，PB傾斜角互補?k_PA+k_PB=0等是解題的關鍵．