Question

15．如圖，已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設過F₂的直線與橢圓C交于A，B兩點，記直線AF₁，BF₁，AB的斜率分別為k₁，k₂，k．若k₁+k₂+k=0，求直線AB的方程．

Answer 1

分析 （1）運用橢圓的離心率公式和a，b，c的關(guān)系，解得a，b，進而得到橢圓方程；
（2）設過F₂（1，0）的直線為y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），F(xiàn)₁（-1，0），由y=k（x-1）代入橢圓方程，運用韋達定理，再由直線的斜率公式和點A，B滿足直線方程，化簡整理，解方程可得斜率k的值，進而得到所求直線的方程．

解答 解：（1）由題意可得c=1，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得a=$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
可得橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）設過F₂（1，0）的直線為y=k（x-1），
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），F(xiàn)₁（-1，0），
由y=k（x-1）代入橢圓方程x²+2y²=2，可得
（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
k₁+k₂+k=0，即為$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+1}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+1}$+k=0，
即為$\frac{k（{x}_{1}-1）}{{x}_{1}+1}$+$\frac{k（{x}_{2}-1）}{{x}_{2}+1}$+k=0，
化簡可得3x₁x₂+x₁+x₂-1=0，
即為3•$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$+$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$-1=0，
解方程可得k=±$\frac{\sqrt{14}}{4}$．
即有直線AB的方程為y=±$\frac{\sqrt{14}}{4}$（x-1）．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運用離心率公式，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運用韋達定理，以及直線的斜率公式，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．