Question

如圖，在多面體ABCDFE中，四邊形ABCD是矩形，AB∥EF，AB=2EF，∠EAB=90°，平面ABFE⊥平面ABCD．
（1）若G點(diǎn)是DC中點(diǎn)，求證：FG∥面AED．
（2）求證：面DAF⊥面BAF．
（3）若AE=AD=1，AB=2，求三棱錐D-AFC的體積．

Answer 1

分析：（1）點(diǎn)G是DC中點(diǎn)，易證四邊形DEFG是平行四邊形，從而FG∥DE，利用線面平行的判斷定理即可得到FG∥面AED；
（2）要證兩個(gè)平面互相垂直，只要證明其中一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線即可，由四邊形ABCD是矩形可知AD⊥AB，再由平面ABFE⊥平面ABCD可得AD⊥平面BAF，則結(jié)論得證；
（3）根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，EA即為平面ABCD上的高，求出△ADC的面積，并將其代入棱錐體積公式，即可得到答案．

解答：解：（1）證明：如圖，
∵點(diǎn)G是DC中點(diǎn)，AB=CD=2EF，AB∥EF，
∴EF∥DG且EF=DG，
∴四邊形DEFG是平行四邊形，
∴FG∥DE
又FG?面AED，ED?面AED，
∴FG∥面AED．
（2）證明：如圖，
∵平面ABFE⊥平面ABCD，AD⊥AB，
∴AD⊥平面BAF．
又∵AD?面DAF，
∴面DAF⊥面BAF；
（3）解：S_△AEF=

1

2

•AE•EF=

1

2

∵平面ABEF⊥平面ABCD，平面ABEF∩平面ABCD=AB，∠EAB=90°，EA?平面ABFE
所以EA⊥平面ABCD，∵EF∥AB，又∵EF?平面ABCD，AB?平面ABCD，∴EF∥平面ABCD，
F到平面ABCD的距離為E到平面ABCD的距離EA，
∴V_D-AFC=V_F-ADC=

1

3

•S_△ADC•EA=

1

3

×1×

1

2

×1×2=

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是棱錐的體積公式，直線與平面垂直的判斷，直線與平面平行的判定，證明線面平行，找到面內(nèi)與已知直線平等的直線是關(guān)鍵，求三棱錐的體積，確定底面和高是關(guān)鍵．