Question

在周長為定值的△DEC中，已知|DE|=8，動點C的運動軌跡為曲線G，且當動點C運動時，cosC有最小值-

7

25

．
（1）以DE所在直線為x軸，線段DE的中垂線為y軸建立直角坐標系，求曲線G的方程；
（2）直線l分別切橢圓G與圓M：x²+y²=R²（其中3＜R＜5）于A、B兩點，求|AB|的范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設|CD|+|CE|=2a（a＞4）為定值，則C點的軌跡是以D、E為焦點的橢圓，焦距2c=|DE|=8．再由cosC有最小值-

7

25

，推導出a²=25．由此能求出C點軌跡G的方程．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）分別為直線l與橢圓和圓的切點，直線AB的方程為：y=kx+m，有

x2 25 + y2 9 =1 y=kx+m

，得（25k²+9）x²+50kmx+25（m²-9）=0，由此利用相切的性質(zhì)能求出|AB|的范圍．

解答： 解：（1）由題意設|CD|+|CE|=2a（a＞4）為定值，
∴C點的軌跡是以D、E為焦點的橢圓，∴焦距2c=|DE|=8．…..（2分）
∵cosC=

|CD|2+|CE|2-82

2|CD||CE|

=

(|CD|+|CE|)2-2|CD||CE|-64

2|CD||CE|

=

2a2-32

|CD||CE|

-1，
又|CD|•|CE|≤（

2a

2

）²=a²，∴cosC≥1-

32

a2

，…．（4分）
由題意得1-

32

a2

=-

7

25

，∴a²=25．
∴C點軌跡G的方程為

x2

25

+

y2

9

=1，x≠±5…..（6分）
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）分別為直線l與橢圓和圓的切點，
直線AB的方程為：y=kx+m，∵A既在橢圓上，又在直線AB上，
∴

x2 25 + y2 9 =1 y=kx+m

，…..（8分）
消去y得：（25k²+9）x²+50kmx+25（m²-9）=0，
由于直線與橢圓相切，故△=（50km）²-4（25k²+9）×25（m²-9）=0，
從而可得：m²=9+25k²，①，x₁=-

25k

m

②…．（10分）
由

x2+y2=R2 y=kx+m

，消去y得：（k²+1）x²+2kmx+m²-R²=0．
由于直線與圓相切，得：m²=R²（1+k²），③，x₂=-

kR2

m

，④
由②④得：x₂-x₁=

k(25-R2)

m

；由①③得：k²=

R2-9

25-R2

，
∴|AB|²=（x₂-x₁）²+（y₂-y₁）²=（1+k²）（x₂-x₁）²
=

m2

R2

•

k2(25-R2)

m2

=

R2-9

R2

•

(25-R2)2

25-R2

=25+9-R²-

225

R2

，
∵3＜R＜5，∴30≤R2+

225

R2

＜34，
∴0＜|AB|²≤4，∴0＜|AB|≤2，
∴|AB|的范圍是（0，2]．…．（14分）

點評：本題考查曲線的方程的求法，考查線段長的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．