Question

一個(gè)口袋中裝有n個(gè)紅球（n≥5且n∈N）和5個(gè)白球，一次摸獎(jiǎng)從中摸兩個(gè)球，兩個(gè)球顏色不同則為中獎(jiǎng)．
（Ⅰ）試用n表示一次摸獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率p；
（Ⅱ）若n=5，求三次摸獎(jiǎng)（每次摸獎(jiǎng)后放回）恰有一次中獎(jiǎng)的概率；
（Ⅲ） 記三次摸獎(jiǎng)（每次摸獎(jiǎng)后放回）恰有一次中獎(jiǎng)的概率為P．當(dāng)n取多少時(shí)，P最大？

Answer 1

分析：（Ⅰ）本題是一個(gè)等可能事件的概率，試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是一次摸獎(jiǎng)從n+5個(gè)球中任選兩個(gè)，滿足條件的事件是兩球不同色有C_n¹C₅¹種，根據(jù)等可能事件的概率得到結(jié)果．
（Ⅱ）本題是一個(gè)等可能事件的概率，若n=5，一次摸獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率p=

5

9

，三次摸獎(jiǎng)是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，然后利用n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率公式進(jìn)行求解即可；
（III）設(shè)每次摸獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率為p，則三次摸獎(jiǎng)（每次摸獎(jiǎng)后放回），恰有一次中獎(jiǎng)的概率為P為P=P₃（1）=C₃¹•p•（1-p）²=3p³-6p²+3p，當(dāng)p=

1

3

時(shí)，P取得最大值．得到n的值．

解答：解：（Ⅰ）一次摸獎(jiǎng)從n+5個(gè)球中任選兩個(gè)，有C_n+5²種，它們等可能，其中兩球不同色有C_n¹C₅¹種，一次摸獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率p=

10n

(n+5)(n+4)

．
（Ⅱ）若n=5，一次摸獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率p=

5

9

，三次摸獎(jiǎng)是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，三次摸獎(jiǎng)（每次摸獎(jiǎng)后放回）恰有一次中獎(jiǎng)的概率是P3(1)=

C

1 3

•p•(1-p)2=

80

243

．
（Ⅲ）設(shè)每次摸獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率為p，則三次摸獎(jiǎng)（每次摸獎(jiǎng)后放回）恰有一次中獎(jiǎng)的概率為P=P₃（1）=C₃¹•p•（1-p）²=3p³-6p²+3p，0＜p＜1，P'=9p²-12p+3=3（p-1）（3p-1），知在(0，

1

3

)上P為增函數(shù)，在(

1

3

，1)上P為減函數(shù)，當(dāng)p=

1

3

時(shí)P取得最大值．又p=

10n

(n+5)(n+4)

=

1

3

，解得n=20．
答：當(dāng)n=20時(shí)，三次摸獎(jiǎng)（每次摸獎(jiǎng)后放回）恰有一次中獎(jiǎng)的概率最大．

點(diǎn)評(píng)：本題是一個(gè)在等可能性事件基礎(chǔ)上的獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)問題，體現(xiàn)了不同概型的綜合．第Ⅲ小題中的函數(shù)是三次函數(shù)，運(yùn)用了導(dǎo)數(shù)求三次函數(shù)的最值．如果學(xué)生直接用

10n

(n+5)(n+4)

代替p，函數(shù)將比較煩瑣，這時(shí)需要運(yùn)用換元的方法，將

10n

(n+5)(n+4)

看成一個(gè)整體，再求最值．