Question

8．解方程${（\sqrt{4+2\sqrt{3}}）}^{x}$+${（\sqrt{4-2\sqrt{3}}）}^{x}$=8．

Answer 1

分析 由已知得（$\sqrt{3}+1$）^x+（$\sqrt{3}-1$）^x=8，由此利用（$\sqrt{3}+1$）²+（$\sqrt{3}-1$）²=8，能求出方程${（\sqrt{4+2\sqrt{3}}）}^{x}$+${（\sqrt{4-2\sqrt{3}}）}^{x}$=8的解．

解答 解：∵${（\sqrt{4+2\sqrt{3}}）}^{x}$+${（\sqrt{4-2\sqrt{3}}）}^{x}$=8，
∴（$\sqrt{3}+1$）^x+（$\sqrt{3}-1$）^x=8，
∵（$\sqrt{3}+1$）²+（$\sqrt{3}-1$）²=4+2$\sqrt{3}+4-2\sqrt{3}$=8．
∴x=2．
∴方程${（\sqrt{4+2\sqrt{3}}）}^{x}$+${（\sqrt{4-2\sqrt{3}}）}^{x}$=8的解為x=2．

點評 本題考查方程的解法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意根式與分數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)的合理運用．