Question

如圖，四棱錐S-ABCD的底面是邊長為1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SB=

3

．
（Ⅰ）求面ASD與面BSC所成二面角的大��；
（Ⅱ）設棱SA的中點為M，求異面直線DM與SB所成角的大�。�
（Ⅲ）求點D到平面SBC的距離．

Answer 1

分析：（Ⅰ）以D為坐標原點，DA為x軸，DC為y軸，DS為z軸，建立空間直角坐標系，求出平面SBC的法向量，平面SAD的法向量，然后利用空間向量數量積公式求面ASD與面BSC所成二面角的大�。�
（Ⅱ）設棱SA的中點為M，直接求出異面直線DM與SB對應的向量，利用空間向量數量積求解異面直線DM與SB所成角的大��；
（Ⅲ）通過平面的法向量，利用

DB

在

n

上的射影公式，直接求點D到平面SBC的距離．

解答：（本小題滿分12分）
證明：（Ⅰ）∵SD⊥底面ABCD，ABCD是正方形，∴CD⊥平面SAD，AD⊥平面SDC，
又在Rt△SDB中，SD=

SB2-BD2

=

3-2

=1．      …（1分）
以D為坐標原點，DA為x軸，DC為y軸，DS為z軸，建立空間直角坐標系（如圖），
則A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），S（0，0，1）．          …（2分）
設平面SBC的法向量為

n

1=(x，y，z)，則

n

1⊥

CB

，

n

1⊥

CS

，
∵

CB

=(1，0，0)，

CS

=(0，-1，1)，
∴

n 1• CB =x=0 n 1• CS =-y+z=0

，∴可取

n

1=(0，1，1)．            …（4分）
∵CD⊥平面SAD，∴平面SAD的法向量

n

2=(0，1，0)．     …（5分）
∴cos?

n

1，

n

2＞=

0×0+1×1+1×0

02+12+12 • 02+12+02

=

2

2

，
∴面ASD與面BSC所成二面角的大小為45°．             …（6分）
（Ⅱ）∵M(

1

2

，0，

1

2

)，∴

DM

=(

1

2

，0，

1

2

)，

SB

=(1，1，-1)，
又∵

DM

•

SB

=

1

2

×1+0×1+

1

2

×(-1)=0，∴DM⊥SB，
∴異面直線DM與SB所成角的大小為90°．             …（9分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）平面SBC的法向量為

n

=(0，1，1)，∵

DB

=(1，1，0)，
∴

DB

在

n

上的射影為d=

n • DB

| n |

=

0×1+1×1+1×0

02+12+12

=

2

2

，
∴點D到平面SBC的距離為

2

2

．                    …（12分）
（特別說明：用傳統(tǒng)解法每問應同步給分）

點評：本題考查空間向量的數量積的應用，二面角的求法，異面直線所成角的求法，點到平面的距離公式的應用，考查空間想象能力與計算能力．