Question

【題目】在四棱錐中，平面 平面，底面為梯形，，且

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求二面角B-PD-C的余弦值；

（Ⅲ）若M是棱PA的中點，求證：對于棱BC上任意一點F，MF與PC都不平行.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）； （Ⅲ）見解析.

【解析】

（Ⅰ）利用平面和平面垂直得到線面垂直；

（Ⅱ）利用空間向量求解法向量，從而計算出二面角；

（Ⅲ）利用反證法或者向量求解.

（Ⅰ）在平面中過點作，交于

因為平面平面

平面

平面平面

所以平面

因為平面

所以

又，且

所以平面

（Ⅱ）因為平面，所以

又，

以為原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系

所以，

因為平面，所以取平面的法向量為

設平面的法向量為

因為，所以

所以

令 ，則 ，所以

所以

由題知為銳角，所以的余弦值為

（Ⅲ）

法一：

假設棱上存在點，使得，顯然與點不同

所以四點共面于

所以 ，

所以 ，

所以就是點確定的平面，所以

這與為四棱錐矛盾，所以假設錯誤，即問題得證

法二：

假設棱上存在點，使得

連接，取其中點

在中，因為分別為的中點，所以

因為過直線外一點只有一條直線和已知直線平行，所以與重合

所以點在線段上，所以是，的交點，即就是

而與相交，矛盾，所以假設錯誤，問題得證

法三：假設棱上存在點，使得，

設，所以

因為，所以

所以有，這個方程組無解

所以假設錯誤，即問題得證