Question

已知函數(shù)f（x）=

1

x•sinθ

+lnx在區(qū)間[1，+∞）上為增函數(shù)，且θ∈（0，π）．
（1）求θ的值；
（2）已知函數(shù)g（x）=-3x-lnx+m，若在（0，+∞）上至少存在一個x₀，使得f（x₀）≤g（x₀）成立．求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應用

專題：綜合題

分析：（1）由題意得f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，進而可化為sinθ≥1，從而sinθ=1，解出即可；
（2）要在在（0，+∞）上至少存在一個x₀，使得f（x₀）≤g（x₀）成立，即f（x）-g（x）≤0在（0，+∞）上有解，設h（x）=f（x）-g（x），則等價于h（x）_min≤0．利用導數(shù)可求得h（x）_min．

解答： 解：（1）f′（x）=-

1

x2sinθ

+

1

x

≥0在[1，+∞）上恒成立，即

xsinθ-1

x2sinθ

≥0，
∵θ∈（0，π），∴sinθ＞0，
故sinθ≥1，∴sinθ=1，
由θ∈（0，π）知：θ=

π

2

．
（2）要在在（0，+∞）上至少存在一個x₀，使得f（x₀）≤g（x₀）成立，即要f（x）-g（x）≤0在（0，+∞）上有解，
設h（x）=f（x）-g（x），則只要h（x）_min≤0．
∵h（x）=

1

x

+2lnx+3x-m，
則h′（x）=-

1

x2

+

2

x

+3=

3x2+2x-1

x2

=

(x+1)(3x-1)

x2

，
當0＜x＜

1

3

時，h′（x）＜0；當x＞

1

3

時，h′（x）＞0，則h（x）在（0，

1

3

）上遞減，在（

1

3

，+∞）遞增，
∴h(x)min=h(

1

3

)=4-2ln3-m≤0，解得m≥4-2ln3．

點評：該題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值，考查函數(shù)恒成立，考查轉(zhuǎn)化思想，正確理解“恒成立”、“能成立”問題并合理轉(zhuǎn)化是解題關鍵．