【題目】已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,有下列5個(gè)命題:

①若,則的圖象自身關(guān)于直線軸對(duì)稱;

的圖象關(guān)于直線對(duì)稱;

③函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱;

為奇函數(shù),且圖象關(guān)于直線對(duì)稱,則周期為2;

為偶函數(shù), 為奇函數(shù),且,則周期為2.

其中正確命題的序號(hào)是____________.

【答案】①②③④

【解析】對(duì)于①,令t=x2,則2x=t,

由于f(x2)=f(2x),得f(t)=f(t),所以函數(shù)f(x)是偶函數(shù),

f(x)的圖象自身關(guān)于直線y軸對(duì)稱,故①正確;

對(duì)于②,設(shè)f(m)=n,則函數(shù)y=f(x2)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(m+2,n)

y=f(2x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(m+2,n),由于點(diǎn)A與點(diǎn)B是關(guān)于x=2對(duì)稱的點(diǎn),

y=f(x2)y=f(2x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱

故②正確;

對(duì)于③,設(shè)F(x)=f(x+2),則f(2x)=F(x),由于F(x)F(x)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,

所以函數(shù)y=f(x+2)y=f(2x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,得③正確;

對(duì)于④,因?yàn)?/span>f(x)圖象關(guān)于直線對(duì)稱,所以f(x)=f(1+x),

結(jié)合函數(shù)為奇函數(shù),得f(x)=f(x),故f(x+1)=f(x)

由此可得f(x+2)=f(x+1)=f(x),得f(x)是周期為2的周期函數(shù),故④正確;

對(duì)于⑤f(x)為偶函數(shù),g(x)為奇函數(shù),且g(x)=f(x1)

則由于g(x)+g(x)=0,得f(x1)+f(x1)=0,

又因?yàn)?/span>f(x1)=f(x+1),所以f(x1)+f(x+1)=0

由此可證出f(x+4)=f(x),得f(x)是周期為4的周期函數(shù),故⑤不正確

故答案為:①②③④

練習(xí)冊(cè)系列答案
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A.10
B.12
C.20
D.40

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③若,則必存在實(shí)數(shù),使;④若,則不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立;⑤函數(shù)的圖象與直線也一定沒(méi)有交點(diǎn),其中正確的結(jié)論是__________.(寫(xiě)出所有正確結(jié)論的編號(hào))

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