Question

二次函數f（x）的二次項系數為負，且對任意實數x，恒有f（x）=f（4-x），若f（1-3x²）＜f（1+x+x²），則x的取值范圍是________．

Answer 1

（-∞，-）∪（0，+∞）
分析：由已知中，二次函數f（x）的二次項系數為負，且對任意實數x，恒有f（x）=f（4-x），我們易判斷出二次函數圖象的形狀，根據二次函數的性質，我們可以將f（1-3x²）＜f（1+x+x²）轉化為一個絕對值不等式，解不等式即可得到答案．
解答：∵對任意實數x，恒有f（x）=f（4-x），
則x=2是函數f（x）的對稱軸，
又由二次函數f（x）的二次項系數為負，
故函數的開口方向朝下
則f（1-3x²）＜f（1+x+x²），可轉化為
|2-（1-3x²）|＞|2-（1+x+x²）|
即|3x²+1|＞|-1+x+x²|
解得x∈（-∞，-）∪（0，+∞）
故答案為：（-∞，-）∪（0，+∞）．
點評：本題考查的知識點是二次函數的性質，一元二次不等式的解法，其中根據二次函數的圖象分析函數的性質，進而將不等式轉化為一個一元二次不等式是解答本題的關鍵．