已知點(diǎn)
,曲線
上的動點(diǎn)
滿足
,定點(diǎn)
,由曲線
外一點(diǎn)
向曲線
引切線
,切點(diǎn)為
,且滿足
.
(1)求線段
長的最小值;
(2)若以
為圓心所作的圓
與曲線
有公共點(diǎn),試求半徑取最小值時圓
的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(1)
;(2)
.
試題分析:本題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、向量的點(diǎn)乘、平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式等基礎(chǔ)知識.考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.考查運(yùn)算求解能力、綜合分析和解決問題的能力.第一問,利用向量的點(diǎn)乘求出點(diǎn)
的軌跡方程,數(shù)形結(jié)合找出
,所以
,然后配方法求最值;第二問,利用兩圓的位置關(guān)系列出不等式,用配方法求最值,得到圓心和半徑,寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
試題解析:(Ⅰ)設(shè)
,則
,
∴
,
即
點(diǎn)軌跡(曲線
)方程為
,即曲線
是
. 2分
連
∵
為切點(diǎn),
,由勾股定理有:
.
又由已知
,故
.
即:
,
化簡得實(shí)數(shù)
間滿足的等量關(guān)系為:
,即
.(4分)
∴
=
,
故當(dāng)
時,
即線段
長的最小值為
7分
(另法)由點(diǎn)
在直線
:
上.
∴
,即求點(diǎn)
到直線
的距離.
∴
(7分)
(Ⅱ)設(shè)
的半徑為
,∵
與
有公共點(diǎn),
的半徑為1,
即
且
. 8分
而
, 9分
故當(dāng)
時,
. 10分
此時
,
. 11分
得半徑取最小值時
的標(biāo)準(zhǔn)方程為
. 13分
(另法)
與
有公共點(diǎn),
半徑最小時為與
外切(取小者)的情形,而這些半徑的最小值為圓心
到直線
的距離減去1,圓心
為過原點(diǎn)與
垂直的直線
與
的交點(diǎn)
.
.
又
,(10分)
解方程組
,得
.即
,
∴所求
標(biāo)準(zhǔn)方程為
.(13分)
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知平面向量
,
,
,其中
,且函數(shù)
的圖象過點(diǎn)
.
(1)求
的值;
(2)將函數(shù)
圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼牡?倍,縱坐標(biāo)不變,得到函數(shù)
的圖象,求函數(shù)
在
上的最大值和最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
若直線
上不同的三個點(diǎn)
與直線
外一點(diǎn)
,使得
成立,則滿足條件的實(shí)數(shù)
的集合為( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
是平面上一點(diǎn),
是平面上不共線三點(diǎn),動點(diǎn)
滿足:
,已知
時,
.則
的最小值____________.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
在平面直角坐標(biāo)系中,
是坐標(biāo)原點(diǎn),若兩定點(diǎn)
滿足
,則點(diǎn)集
所表示的區(qū)域的面積是
.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
已知O是△ABC的外心,AB=2,AC=3,若
x+2y=1,則
;
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
設(shè)向量
,
,且
,則銳角
為________.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
已知菱形ABCD的邊長為2,
,E、F分別為CD,BC的中點(diǎn),則
=
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