Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q為AD的中點，M是棱PC上的點，PA=PD=2，BC=

1

2

AD=1，CD=

3

．
（1）求證：平面PQB⊥平面PAD；
（2）若PA∥平面QBM，求

PM

MC

的值；
（3）若

PM

MC

=3，求二面角M-BQ-C的大�。�

Answer 1

分析：（1）利用面面垂直的性質，可得線面垂直，再利用面面垂直的判定，可得結論；
（2）利用線面平行，可得線線平行，從而可得比值；
（3）連接CQ，作MF⊥CQ于點F，作FG⊥BQ于點G，連接GM，證明二面角M-BQ-C的平面角為∠MGF，即可求得結論．

解答：（1）證明：∵DQ∥BC且DQ=BC，∴四邊形BCDQ是平行四邊形，∴BQ∥CD，
∵CD⊥AD，∴BQ⊥AD，
∵平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD=AD，∴BQ⊥平面PAD，
∵BQ?平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD．
（2）解：設AC∩BQ=E，∵PA∥平面QBM，∴PA∥ME，∴

PM

MC

=

AE

EC

=

AQ

BC

=1．
（3）解：連接CQ，作MF⊥CQ于點F，作FG⊥BQ于點G，連接GM，
∵MF⊥CQ，PQ⊥CQ，∴PQ∥MF，
∵PQ⊥AD，平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD=AD，∴PQ⊥平面ABCD，∴MF⊥平面ABCD，
∵FG⊥BQ，∴BQ⊥MG，∴二面角M-BQ-C的平面角為∠MGF，
∵

MF

PQ

=

CM

CP

=

1

4

，∴MF=

1

4

PQ=

3

4

，
∵

FG

BC

=

QF

QC

=

3

4

，∴FG=

3

4

BC=

3

4

，
∴tan∠MGF=

MF

FG

=

3

3

，∴∠MGF=

π

6

，
∴二面角M-BQ-C的大小為

π

6

．

點評：本題考查面面垂直的性質與判定，考查線面平行，考查面面角，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．