給出下列命題:
f(x)=
4-x2
+
x2-4
既是奇函數(shù),又是偶函數(shù);
②f(x)=x和f(x)=
x2
x
為同一函數(shù);
③已知f(x)為定義在R上的奇函數(shù),且f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,則f(x)在(-∞,+∞)上為增函數(shù);
④函數(shù)y=
x
2x2+1
的值域?yàn)?span id="y25ezz9" class="MathJye">[-
2
4
,
2
4
].
其中正確命題的序號(hào)是
①④
①④
分析:由函數(shù)的解析式分析出函數(shù)f(x)=
4-x2
+
x2-4
的定義域,進(jìn)而得到函數(shù)的圖象,結(jié)合奇偶函數(shù)圖象的對(duì)稱性,可判斷①的真假;
根據(jù)兩個(gè)函數(shù)的定義域不一致,結(jié)合同函數(shù)的定義,可判斷②的真假;
舉出反例f(x)=
-1
x
,結(jié)合反比例函數(shù)的單調(diào)性,可以判斷③的真假;
將函數(shù)解析式變形為y=
x
2x2+1
=
1
2x +
1
x
,結(jié)合基本不等式,分類討論函數(shù)的值域,綜合討論結(jié)果可判斷④的真假.
解答:解:函數(shù)f(x)=
4-x2
+
x2-4
的定義域?yàn)閧-2,2},其圖象是點(diǎn)(-2,0)和(2,0),即關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱也關(guān)于y軸對(duì)稱,故f(x)既是奇函數(shù),又是偶函數(shù),即①正確;
f(x)=x的定義域?yàn)镽,f(x)=
x2
x
的定義域?yàn)閧x|x≠0},故兩者不為同一函數(shù),故②錯(cuò)誤;
已知f(x)=
-1
x
為定義在R上的奇函數(shù),且f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,但函數(shù)在(-∞,+∞)上不為增函數(shù),故③錯(cuò)誤;
④函數(shù)y=
x
2x2+1
=
1
2x +
1
x

當(dāng)x>0時(shí),2x +
1
x
≥2
2
,則y∈(0,
2
4
]
當(dāng)x=0時(shí),則y=0
當(dāng)x<0時(shí),2x +
1
x
≤-2
2
,則y[-
2
4
,0)
綜上,函數(shù)的值域?yàn)?span id="rfkhzk0" class="MathJye">[-
2
4
,
2
4
],故④正確.
故答案為:①④
點(diǎn)評(píng):本題以命題的真假判斷為載體考查了函數(shù)的奇偶性,同一函數(shù)的定義,函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的值域等,其中④函數(shù)值域的求解難度稍大,要注意基本不等式的應(yīng)用.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•廣西一模)已知函數(shù)y=f(x)是R上的偶函數(shù),對(duì)于任意x∈R,都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立,當(dāng)x1,x2∈[0,3],且x1≠x2時(shí),都有
f(x1)-f(x2)x1-x2
>0
.給出下列命題:
①f(3)=0;
②直線x=-6是函數(shù)y=f(x)的圖象的一條對(duì)稱軸;
③函數(shù)y=f(x)在[-9,-6]上為增函數(shù);
④函數(shù)y=f(x)在[-9,9]上有四個(gè)零點(diǎn).
其中所有正確命題的序號(hào)為
①②④
①②④
(把所有正確命題的序號(hào)都填上)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•朝陽(yáng)區(qū)二模)已知函數(shù)f(x)=a•2|x|+1(a≠0),定義函數(shù)F(x)=
f(x),x>0
-f(x),x<0
給出下列命題:
①F(x)=|f(x)|; 
②函數(shù)F(x)是奇函數(shù);
③當(dāng)a<0時(shí),若mn<0,m+n>0,總有F(m)+F(n)<0成立,
其中所有正確命題的序號(hào)是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),給出下列命題:
①f(0)=0;
②若f(x)在(0,+∞)上有最小值為-1,則f(x)在(-∞,0)上有最大值1;
③若f(x)在[1,+∞)上為增函數(shù),則f(x)在(-∞,-1]上為減函數(shù);
④若x>0,f(x)=x2-2x;則x<0時(shí),f(x)=-x2-2x.
其中所有正確的命題序號(hào)是
①②④
①②④

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖展示了一個(gè)由區(qū)間(0,1)到實(shí)數(shù)集R的映射過程:區(qū)間(0,1)中的實(shí)數(shù)m對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的點(diǎn)M,如圖①;將線段AB圍成一個(gè)圓,使兩端點(diǎn)A、B恰好重合,如圖②;再將這個(gè)圓放在平面直角坐標(biāo)系中,使其圓心在y軸上,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,1),在圖形變化過程中,圖①中線段AM的長(zhǎng)度對(duì)應(yīng)于圖③中的弧ADM的長(zhǎng)度,如圖③.圖③中直線AM與x軸交于點(diǎn)N(n,0),設(shè)f(m)=n.
給出下列命題:
①f(
1
2
)=0;
②f(x)是偶函數(shù);
③f(x)在定義域上單調(diào)遞增;
④f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(
1
2
,0)對(duì)稱
則下列命題的正確的是(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•資陽(yáng)一模)如圖展示了一個(gè)由區(qū)間(0,1)到實(shí)數(shù)集R的映射過程:區(qū)間(0,1)中的實(shí)數(shù)m對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的點(diǎn)M,如圖①;將線段AB圍成一個(gè)圓,使兩端點(diǎn)A、B恰好重合,如圖②;再將這個(gè)圓放在平面直角坐標(biāo)系中,使其圓心在y軸上,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,1),在圖形變化過程中,圖①中線段AM的長(zhǎng)度對(duì)應(yīng)于圖③中的弧ADM的長(zhǎng)度,如圖③.圖③中直線AM與x軸交于點(diǎn)N(n,0),則m的象就是n,記作f(m)=n.

給出下列命題:
①f(
1
4
)=1;
②f(x)是奇函數(shù);
③f(x)在定義域上單調(diào)遞增;
④f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(
1
2
,0)對(duì)稱. 
則所有真命題的序號(hào)是
③④
③④
.(填出所有真命題的序號(hào))

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