Question

2．已知數(shù)列{a_n}各項均為正數(shù)，S_n為其前n項和，且對任意的n∈N^*，都有4S_n=（a_n+1）²．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若eⁿ≥tS_n對任意的n∈N^*恒成立，求實數(shù)t的最大值．

Answer 1

分析 （1）對任意的n∈N^*，都有4S_n=（a_n+1）²．當(dāng)n≥2時，4a_n=4（S_n-S_n-1），化為（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，又{a_n}各項均為正數(shù)，可得：a_n-a_n-1=2，再利用等差數(shù)列的通項公式即可得出．
（2）eⁿ≥tS_n對任意的n∈N^*恒成立，則t≤$\{\frac{{e}^{n}}{{n}^{2}}{\}}_{min}$．利用數(shù)列的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）對任意的n∈N^*，都有4S_n=（a_n+1）²．
當(dāng)n≥2時，4a_n=4（S_n-S_n-1）=$（{a}_{n}+1）^{2}$-$（{a}_{n-1}+1）^{2}$，
化為（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
又{a_n}各項均為正數(shù)，
∴a_n-a_n-1=2，
又4a₁=$（{a}_{1}+1）^{2}$，解得a₁=1．
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，
a_n=2n-1．
（2）eⁿ≥tS_n對任意的n∈N^*恒成立，則t≤$\{\frac{{e}^{n}}{{n}^{2}}{\}}_{min}$．
令b_n=$\frac{{e}^{n}}{{n}^{2}}$，∵$（\frac{n}{n+1}）^{2}$單調(diào)遞增，n≥2時，$\frac{_{n+1}}{_{n}}$=e$•\frac{{n}^{2}}{（n+1）^{2}}$=e$（\frac{n}{n+1}）^{2}$＞1．
∵b₁=e，b₂=$\frac{{e}^{2}}{4}$，
∴$\{\frac{{e}^{n}}{{n}^{2}}{\}}_{min}$=$\frac{{e}^{2}}{4}$．
∴$t≤\frac{{e}^{2}}{4}$，
∴實數(shù)t的最大值為$\frac{{e}^{2}}{4}$．

點評 本題考查了遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項公式、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．