Question

18．已知函數(shù)f（x）=lnx+x²-ax（a為常數(shù)）．
（Ⅰ）若x=1是函數(shù)f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，求a的值；
（Ⅱ）當(dāng)0＜a≤4時(shí)，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，利用極值的 定義，即可求a的值；（Ⅱ）當(dāng)0＜a≤4時(shí)，判斷導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，即可判斷f（x）的單調(diào)性．

解答 解：f′（x）=$\frac{1}{x}$+2x-a．
（1）由已知得：f′（1）=0，∴1+2-a=0，∴a=3；
（2）當(dāng)0＜a≤4時(shí)，f′（x）=$\frac{{2（x-\frac{a}{4}）}^{2}+1-\frac{{a}^{2}}{8}}{x}$，
0＜a≤2$\sqrt{2}$時(shí)，1-$\frac{{a}^{2}}{8}$≥0，而x＞0，即f′（x）≥0，
故f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
2$\sqrt{2}$＜a≤4時(shí)，1-$\frac{{a}^{2}}{8}$＜0，
令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-8}}{4}$或x＜$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-8}}{4}$，
令f′（x）＜0，解得：$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-8}}{4}$＜x＜$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-8}}{4}$，
故函數(shù)在（0，$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-8}}{4}$），（$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-8}}{4}$，+∞）遞增，在（$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-8}}{4}$，$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-8}}{4}$）遞減．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的極值，考查函數(shù)的單調(diào)性問題．