Question

（2013•黃浦區(qū)二模）下列命題：
①“0＜a≤

1

2

”是“存在n∈N^*，使得(

1

2

)n=a成立”的充分條件；
②“a＞0”是“存在n∈N^*，使得(

1

2

)n＜a成立”的必要條件；
③“a＞

1

2

”是“不等式(

1

2

)n＜a對(duì)一切n∈N^*恒成立”的充要條件．
其中所以真命題的序號(hào)是（　�。�

A．③

B．②③

C．①②

D．①③

Answer 1

分析：選項(xiàng)①“0＜a≤

1

2

”應(yīng)是“存在n∈N^*，使得(

1

2

)n=a成立”的充要條件；選項(xiàng)②當(dāng)存在n∈N^*，使得(

1

2

)n＜a成立時(shí)，a只需大于(

1

2

)n當(dāng)n∈N^*，時(shí)的最小取值即可，可得a＞0；選項(xiàng)③由充要條件的證明方法可得．

解答：解：選項(xiàng)①當(dāng)0＜a≤

1

2

時(shí)，不一定存在n∈N^*，使得(

1

2

)n=a成立，
比如取a=

1

3

，則不存在自然數(shù)n，使(

1

2

)n=

1

3

，故前者是后者的非充分充分條件，
但存在n∈N^*，使得(

1

2

)n=a成立時(shí)，a即為(

1

2

)n當(dāng)n∈N^*，時(shí)的取值范圍，即0＜a≤

1

2

，
故“0＜a≤

1

2

”應(yīng)是“存在n∈N^*，使得(

1

2

)n=a成立”的必要非充分條件，故①錯(cuò)誤；
選項(xiàng)②當(dāng)存在n∈N^*，使得(

1

2

)n＜a成立時(shí)，a只需大于(

1

2

)n當(dāng)n∈N^*，時(shí)的最小取值即可，
故可得a＞0，故“a＞0”是“存在n∈N^*，使得(

1

2

)n＜a成立”的必要條件，故②正確；
選項(xiàng)③由①知，當(dāng)n∈N^*時(shí)(

1

2

)n的取值范圍為0＜a≤

1

2

，
故當(dāng)a＞

1

2

時(shí)，必有“不等式(

1

2

)n＜a對(duì)一切n∈N^*恒成立”，
而要使不等式(

1

2

)n＜a對(duì)一切n∈N^*恒成立”，只需a大于(

1

2

)n的最大值即可，即a＞

1

2

故“a＞

1

2

”是“不等式(

1

2

)n＜a對(duì)一切n∈N^*恒成立”的充要條件．
故選B

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題真假的判斷與應(yīng)用，涉及指數(shù)函數(shù)和恒成立問(wèn)題，屬基礎(chǔ)題．