Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，且數(shù)列{S_n}是以2為公比的等比數(shù)列．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）求a₁+a₃+…+a_2n+1．

Answer 1

分析：（I）由題設(shè)條件知S_n=2^n-1．由此可知an=

1(n=1) 2n-2(n≥2).

（II）由題設(shè)條件知a₃，a₅，…，a_2n+1是以2為首項(xiàng)，以4為公比的等比數(shù)列，由此可求出a₁+a₃+…+a_2n+1的值．

解答：解：（I）∵S₁=a₁=1，且數(shù)列{S_n}是以2為公比的等比數(shù)列，
∴S_n=2^n-1．（2分）
又當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2^n-2（2-1）=2^n-2．（5分）
∴an=

1(n=1) 2n-2(n≥2).

（7分）
（II）a₃，a₅，…，a_2n+1是以2為首項(xiàng)，以4為公比的等比數(shù)列，（9分）
∴a3+a5+…+a2n+1=

2(1-4n)

3

．（11分）
∴a₁+a₃+…+a_2n+1=1+

2(4n-1)

3

=

22n+1+1

3

．（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)計(jì)算．