Question

1．已知圓C：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）和直線(xiàn)l：$\left\{\begin{array}{l}{x=2++tcosα}\\{y=\sqrt{3}+tsinα}\end{array}\right.$（其中t為參數(shù)，α為傾斜角）
（1）當(dāng)α=$\frac{π}{3}$時(shí)，求圓上的點(diǎn)到直線(xiàn)l距離的最小值；
（2）當(dāng)直線(xiàn)l與圓C有公共點(diǎn)時(shí)，求α的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出圓和直線(xiàn)的普通方程，計(jì)算圓心到直線(xiàn)的距離判定直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，得出距離最小值；
（2）求出圓過(guò)點(diǎn)（2，$\sqrt{3}$）的切線(xiàn)的傾斜角，則α的值介于兩條切線(xiàn)的傾斜角之間．

解答 解：（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-1）²+y²=1，
當(dāng)$α=\frac{π}{3}$時(shí)，直線(xiàn)l的斜率為$\sqrt{3}$，且過(guò)點(diǎn)（2，$\sqrt{3}$），
∴直線(xiàn)l的普通方程為3x-$\sqrt{3}$y-3=0．
∴圓心到直線(xiàn)l的距離d=0．
∴直線(xiàn)l與圓相交，
∴圓上的點(diǎn)到直線(xiàn)l距離的最小值為0．
（2）當(dāng)α=$\frac{π}{2}$時(shí)，直線(xiàn)l的方程為x=2，顯然與圓相切．
設(shè)圓過(guò)點(diǎn)（2，$\sqrt{3}$）的切線(xiàn)方程為y-$\sqrt{3}$=k（x-2），即kx-y-2k+$\sqrt{3}$=0．
∴圓心到切線(xiàn)的距離$\frac{|k-2k+\sqrt{3}|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，
解得k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴切線(xiàn)的傾斜角為$\frac{π}{6}$．
∵直線(xiàn)l與圓有公共點(diǎn)，
∴$\frac{π}{6}≤α≤\frac{π}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．