,其中實常數(shù)a≥-1.
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的定義域和值域;
(Ⅱ)試研究函數(shù)f(x)的基本性質,并證明你的結論.
【答案】分析:(Ⅰ)由函數(shù)的解析式易得定義域為R,由于a的取值范圍不同,函數(shù)的值域形式不同,要分a=-1,a>-1兩種情況研究函數(shù)值域;
(II)函數(shù)的性質主要是批函數(shù)的單調性,奇偶性,根據(jù)函數(shù)的解析式,先判斷出性質再依據(jù)定義證明即可.
解答:解:(Ⅰ)當a=-1時,f(x)=-1,定義域為R 
當a>-1時,由于1+2x>0恒成立,所以函數(shù)f(x)的定義域為R
,
當a>-1時,因為2x>0,所以2x+1>1,
,從而-1<f(x)<a,
所以函數(shù)f(x)的值域為(-1,a).
綜上,當a=-1時,函數(shù)值為-1;當a>-1時,函數(shù)值域是(-1,a). 
(Ⅱ)假設函數(shù)f(x)是奇函數(shù),則,對于任意的x∈R,有f(-x)=-f(x)成立,
化簡得(a-1)(1+2x)=0得a=1
∴當a=1時,函數(shù)f(x)是奇函數(shù).
當a>-1,且a≠1時,函數(shù)f(x)是非奇非偶函數(shù).
∵對于任意的x1,x2∈R,且x1<x2,a>-1

當a>-1時,函數(shù)f(x)是遞減函數(shù).
點評:本題研究一個與指數(shù)有關的性質的研究,涉及到了函數(shù)的定義域值域單調性奇偶性,解題的關鍵理解函數(shù)的性質,且能掌握函數(shù)性質的證明方法,本題求值域時對函數(shù)解析式分離常數(shù)是重點,研究函數(shù)奇偶性時,對參數(shù)的取值范圍進行討論是本題的難點.
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